Em Alegrete, há 10.000 árvores. Qual deve ser o tamanho da amostra que o Departamento de Jardins precisa tomar para estimar a porcentagem de plantas que merecem podas, se o objetivo é ter
de confiança de não errar mais de
?
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o tamanho da amostra necessário para estimar a porcentagem de árvores que precisam de poda, com as seguintes informações fornecidas pelo problema:
- População total:
. - Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
(ou seja, ).
A pergunta é: qual deve ser o tamanho da amostraque garante de confiança e erro máximo de ?
Passo 2
Qual fórmula vamos usar (explicação didática):
Para estimar uma proporção, a fórmula básica (quando a população é muito grande) para o tamanho de amostra inicial é
Para estimar uma proporção, a fórmula básica (quando a população é muito grande) para o tamanho de amostra inicial
onde:
-
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para usamos ), -
é a proporção estimada da característica na população (se não soubermos, usamos porque isso maximiza e é conservador), -
é a margem de erro em unidade decimal (aqui ).
Explicando cada peça:traduz a confiança desejada em “quantos desvios-padrão” para cobrir a área central; é a variância da proporção; dividir por ajusta para a precisão desejada.
Passo 3
Escolher
para
de confiança:
- O nível de significância é
. - O quantil crítico é
.
Quem já decorou tabelas sabe que paratemos aproximadamente
Passo 4
Como não temos uma estimativa prévia de
, usamos
(caso mais conservador). Agora calculamos
:
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Em seguida,
. Então o numerador fica
E
. Portanto
Interpretando: sem considerar que a população é finita, precisaríamos de cerca de
observações.
Passo 5
Correção para população finita (explicação didática):
Quando a população é finita e relativamente pequena em comparação com , usa-se a correção de população finita (CPF). A fórmula ajustada é
Quando a população é finita e relativamente pequena em comparação com
onde
é o tamanho da população e
é o valor calculado sem correção. Essa fórmula diminui a amostra necessária porque ao amostrar uma fração significativa da população há menos variabilidade restante.
Passo 6
Aplicando a correção com
e
:
Calcule o denominador:
Calcule o denominador:
Calcule o numerador:
Agora a razão:
Passo 7
Arredondamento e justificativa final:
O tamanho da amostra deve ser um inteiro e, para garantir que a margem de erro não ultrapasse , sempre arredondamos para cima. Assim, tomamos
O tamanho da amostra deve ser um inteiro e, para garantir que a margem de erro não ultrapasse
Parabéns — você tem o número que o departamento precisa. Respira fundo: isso significa inspecionar 1557 árvores para garantir
de confiança com erro máximo de
.