Em Alegrete, há 10.000 árvores. Qual deve ser o tamanho da amostra que o Departamento de Jardins precisa tomar para estimar a porcentagem de plantas que merecem podas, se o objetivo é ter 99 \% de confiança de não errar mais de 3 \% ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o tamanho da amostra necessário para estimar a porcentagem de árvores que precisam de poda, com as seguintes informações fornecidas pelo problema:
  • População total: N=10000.
  • Nível de confiança: 99\%.
  • Margem de erro desejada: 3\% (ou seja, E=0{,}03).
    A pergunta é: qual deve ser o tamanho da amostra n que garante 99\% de confiança e erro máximo de 3\%?

Passo 2

Qual fórmula vamos usar (explicação didática):
Para estimar uma proporção, a fórmula básica (quando a população é muito grande) para o tamanho de amostra inicial n_0 é
n_0=\frac{Z^2\,p(1-p)}{E^2},
onde:
  • Z é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 99\% usamos Z=z_{0{,}995}),
  • p é a proporção estimada da característica na população (se não soubermos, usamos p=0{,}5 porque isso maximiza p(1-p) e é conservador),
  • E é a margem de erro em unidade decimal (aqui E=0{,}03).
    Explicando cada peça: Z traduz a confiança desejada em “quantos desvios-padrão” para cobrir a área central; p(1-p) é a variância da proporção; dividir por E^2 ajusta para a precisão desejada.

Passo 3

Escolher Z para 99\% de confiança:
  • O nível de significância é \alpha=1-0{,}99=0{,}01.
  • O quantil crítico é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}995}.
    Quem já decorou tabelas sabe que para 99\% temos aproximadamente
Z \approx 2{,}576.

Passo 4

Como não temos uma estimativa prévia de p, usamos p=0{,}5 (caso mais conservador). Agora calculamos n_0:
Primeiro calculemos Z^2:
Z^2 = (2{,}576)^2 = 6{,}635776.
Em seguida, p(1-p)=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25. Então o numerador fica
Z^2 \, p(1-p) = 6{,}635776 \cdot 0{,}25 = 1{,}658944.
E E^2 = (0{,}03)^2 = 0{,}0009. Portanto
n_0=\frac{1{,}658944}{0{,}0009}=1843{,}271111\ldots
Interpretando: sem considerar que a população é finita, precisaríamos de cerca de 1843{,}27 observações.

Passo 5

Correção para população finita (explicação didática):
Quando a população é finita e relativamente pequena em comparação com n_0, usa-se a correção de população finita (CPF). A fórmula ajustada é
n=\frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1},
onde N é o tamanho da população e n_0 é o valor calculado sem correção. Essa fórmula diminui a amostra necessária porque ao amostrar uma fração significativa da população há menos variabilidade restante.

Passo 6

Aplicando a correção com N=10000 e n_0=1843{,}271111\ldots:
Calcule o denominador:
N + n_0 - 1 = 10000 + 1843{,}271111 - 1 = 11842{,}271111.
Calcule o numerador:
N\,n_0 = 10000 \cdot 1843{,}271111 = 18432711{,}11.
Agora a razão:
n=\frac{18432711{,}11}{11842{,}271111}\approx 1556{,}586\ldots

Passo 7

Arredondamento e justificativa final:
O tamanho da amostra deve ser um inteiro e, para garantir que a margem de erro não ultrapasse 3\%, sempre arredondamos para cima. Assim, tomamos
n=1557.
Parabéns — você tem o número que o departamento precisa. Respira fundo: isso significa inspecionar 1557 árvores para garantir 99\% de confiança com erro máximo de 3\%.

Resposta

1557

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