Segundo dados de uma pesquisa anterior, 40 \% dos alunos de certa escola são " gremistas". Admita um erro de 2,5 \%,(1-\alpha) \%=95,5 \%, para dimensionar tamanho de amostra de tricolores. Sabe-se que a escola tem 5.000 alunos matriculados.

Passo 1

O enunciado pede que eu dimensione o tamanho da amostra para estimar a proporção de “tricolores” numa escola com 5000 alunos, admitindo erro amostral de 2{,}5\% e nível de confiança (1-\alpha)\%=95{,}5\%. Dados e perguntas extraídos do enunciado:
  • Proporção conhecida dos “gremistas”: 40\%.
  • Queremos a amostra para os “tricolores”, portanto a proporção alvo é 1-0{,}40.
  • Tamanho da população: N=5000.
  • Margem de erro desejada: E=2{,}5\%=0{,}025.
  • Nível de confiança: 95{,}5\% (logo o quantil crítico da normal será aproximadamente z\approx 2{,}0).
  • O que pedir: encontrar o tamanho mínimo de amostra n (inteiro) que garanta essas especificações.

Passo 2

Entendimento do parâmetro a estimar e da escolha de p.
Como 40\% são “gremistas”, a proporção de “tricolores” é
p = 1-0{,}40 = 0{,}60.
Explico por que usamos p: ao estimar uma proporção, o erro padrão da proporção amostral é controlado por p(1-p), que mede a variabilidade da proporção verdadeira. Aqui temos informação prévia que permite usar p=0{,}60.

Passo 3

Fórmula básica (população infinita) para obter n_0.
Para grande amostra, a margem de erro aproximada para uma proporção é
E \approx z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Nessa fórmula:
  • E é a margem de erro absoluta desejada ( 0{,}025);
  • z é o quantil da distribuição normal associado ao nível de confiança escolhido;
  • p é a proporção estimada ( 0{,}60);
  • n é o tamanho da amostra que queremos calcular.
Isolando n obtemos a fórmula clássica sem correção de população finita:
n_0=\frac{z^2\,p(1-p)}{E^2}.

Passo 4

Escolha do valor de z.
O nível de confiança é 95{,}5\%. Isso corresponde aproximadamente a z=2{,}0, porque a região dentro de \pm2 desvios-padrão da média cobre cerca de 95{,}45\% da distribuição normal. Portanto usamos z=2{,}0 (é padrão aproximar assim para 95{,}5\%).

Passo 5

Cálculo de n_0 (sem correção por população finita).
Substituindo na fórmula:
p(1-p)=0{,}60\cdot 0{,}40=0{,}24,
z^2 = 2{,}0^2 = 4,
E^2 = 0{,}025^2 = 0{,}000625.
Logo
n_0 = \frac{4\cdot 0{,}24}{0{,}000625} = \frac{0{,}96}{0{,}000625} = 1536.

Passo 6

Verificação da necessidade da correção para população finita.
Quando a população é finita e a amostra representa uma fração relevante da população, aplicamos a correção de população finita (CPF). Uma regra prática: aplicar CPF se n_0/N>0{,}05. Aqui
\frac{n_0}{N}=\frac{1536}{5000}=0{,}307>0{,}05,
logo é obrigatório aplicar a correção.

Passo 7

Fórmula com correção de população finita e explicação das variáveis.
A fórmula com CPF é
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}},
onde
  • n_0 é o tamanho calculado sem considerar o tamanho finito da população;
  • N é o tamanho da população;
  • n é o tamanho de amostra atualizado já considerando que a população tem tamanho finito.
Também existe forma equivalente:
n=\frac{N\,z^2 p(1-p)}{E^2 (N-1) + z^2 p(1-p)}.

Passo 8

Cálculo da amostra corrigida pelo CPF.
Usando
n=\frac{1536}{1+\dfrac{1536-1}{5000}}=\frac{1536}{1+\dfrac{1535}{5000}}=\frac{1536}{1{,}307}.
Agora realizo a divisão:
n \approx 1175{,}21.

Passo 9

Arredondamento para número inteiro e justificativa.
Como precisamos de um número inteiro de alunos e queremos garantir que a margem de erro não seja maior que a especificada, devemos sempre arredondar para cima. Portanto
n = 1176\\ \text{alunos}.

Resposta

1176 alunos

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