Segundo dados de uma pesquisa anterior,
dos alunos de certa escola são " gremistas". Admita um erro de
, para dimensionar tamanho de amostra de tricolores. Sabe-se que a escola tem 5.000 alunos matriculados.
Passo 1
O enunciado pede que eu dimensione o tamanho da amostra para estimar a proporção de “tricolores” numa escola com
alunos, admitindo erro amostral de
e nível de confiança
. Dados e perguntas extraídos do enunciado:
- Proporção conhecida dos “gremistas”:
. - Queremos a amostra para os “tricolores”, portanto a proporção alvo é
. - Tamanho da população:
. - Margem de erro desejada:
. - Nível de confiança:
(logo o quantil crítico da normal será aproximadamente ). - O que pedir: encontrar o tamanho mínimo de amostra
(inteiro) que garanta essas especificações.
Passo 2
Entendimento do parâmetro a estimar e da escolha de
.
Como são “gremistas”, a proporção de “tricolores” é
Como
Explico por que usamos
: ao estimar uma proporção, o erro padrão da proporção amostral é controlado por
, que mede a variabilidade da proporção verdadeira. Aqui temos informação prévia que permite usar
.
Passo 3
Fórmula básica (população infinita) para obter
.
Para grande amostra, a margem de erro aproximada para uma proporção é
Para grande amostra, a margem de erro aproximada para uma proporção é
Nessa fórmula:
-
é a margem de erro absoluta desejada ( ); -
é o quantil da distribuição normal associado ao nível de confiança escolhido; -
é a proporção estimada ( ); -
é o tamanho da amostra que queremos calcular.
Isolando
obtemos a fórmula clássica sem correção de população finita:
Passo 4
Escolha do valor de
.
O nível de confiança é . Isso corresponde aproximadamente a
, porque a região dentro de
desvios-padrão da média cobre cerca de
da distribuição normal. Portanto usamos
(é padrão aproximar assim para
).
O nível de confiança é
Passo 5
Cálculo de
(sem correção por população finita).
Substituindo na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Logo
Passo 6
Verificação da necessidade da correção para população finita.
Quando a população é finita e a amostra representa uma fração relevante da população, aplicamos a correção de população finita (CPF). Uma regra prática: aplicar CPF se . Aqui
Quando a população é finita e a amostra representa uma fração relevante da população, aplicamos a correção de população finita (CPF). Uma regra prática: aplicar CPF se
logo é obrigatório aplicar a correção.
Passo 7
Fórmula com correção de população finita e explicação das variáveis.
A fórmula com CPF é
A fórmula com CPF é
onde
-
é o tamanho calculado sem considerar o tamanho finito da população; -
é o tamanho da população; -
é o tamanho de amostra atualizado já considerando que a população tem tamanho finito.
Também existe forma equivalente:
Passo 8
Cálculo da amostra corrigida pelo CPF.
Usando
Usando
Agora realizo a divisão:
Passo 9
Arredondamento para número inteiro e justificativa.
Como precisamos de um número inteiro de alunos e queremos garantir que a margem de erro não seja maior que a especificada, devemos sempre arredondar para cima. Portanto
Como precisamos de um número inteiro de alunos e queremos garantir que a margem de erro não seja maior que a especificada, devemos sempre arredondar para cima. Portanto
Resposta
1176 alunos