Um engenheiro está estudando a capacidade de retenção de calor de uma determinada edificação. Para isso, ele vai determinar a equação da curva de aquecimento de certa sala. Suponha que a temperatura do meio (temperatura da edificação) seja de
e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo. Suponha que um aparelho de ar condicionado mantenha a temperatura dessa sala a
. O engenheiro verificou que, 10 minutos após o aparelho ser desligado, a temperatura da sala passou para
.
a) Escreva a equação diferencial que modela o problema da determinação da curva de aquecimento
.
b) Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas.
c) Resolva a equação diferencial (PVI).
d) Qual será a temperatura da sala 20 min após o desligamento do aquecedor?
e) Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5% menor que a temperatura do meio, quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio?
f) Faça um esboço do gráfico de
.
a) Escreva a equação diferencial que modela o problema da determinação da curva de aquecimento
b) Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas.
c) Resolva a equação diferencial (PVI).
d) Qual será a temperatura da sala 20 min após o desligamento do aquecedor?
e) Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5% menor que a temperatura do meio, quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio?
f) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar com calma o que foi dado e o que se pede, para não nos perdermos:
-
Dados:
- Temperatura do meio (ambiente da edificação):
. - Temperatura inicial da sala no instante em que o aparelho é desligado (t = 0):
. - Após
minutos da desligamento, a temperatura da sala é .
- Temperatura do meio (ambiente da edificação):
-
Perguntas:
a) Escrever a equação diferencial que modela a curva de aquecimento.
b) Colocar essa equação no formato de variáveis separáveis.
c) Resolver o PVI (problema de valor inicial) encontrando.
d) Calcular a temperatura da sala emminutos.
e) Determinar o tempo em que a sala atinge uma temperatura que seja no máximomenor que a temperatura do meio (ou seja, quando atingir de ).
f) Fazer um esboço (descrição) do gráfico de.
Passo 2
Escolhendo o modelo físico (expliquei o que significa e por que usar):
Quando um corpo troca calor com um meio de temperatura constante, a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Essa é a chamada Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento. Em palavras simples: quanto mais distante a temperatura da sala estiver da temperatura do ambiente, mais rápido ela muda; quando se aproxima, a velocidade de mudança diminui.
Quando um corpo troca calor com um meio de temperatura constante, a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Essa é a chamada Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento. Em palavras simples: quanto mais distante a temperatura da sala estiver da temperatura do ambiente, mais rápido ela muda; quando se aproxima, a velocidade de mudança diminui.
Escrevemos isso como uma equação diferencial com uma constante de proporcionalidade positiva
:
Aqui:
-
é a temperatura da sala em graus Celsius no instante (minutos). -
é a temperatura do meio (constante). -
é a constante de troca térmica (unidade: min ). Ela determina quão rápido a sala se aproxima de .
Esse é o item (a).
Passo 3
Colocando a equação diferencial no formato de variáveis separáveis (item b):
A equação
A equação
pode ser rearranjada separando termos em
e em
. Dividimos por
(assumindo
enquanto fazemos a integração) e multiplicamos por
:
Essa é a forma em variáveis separáveis. Agora integramos ambos os lados com respeito às suas variáveis.
Passo 4
Integração e resolução geral (passo-a-passo):
Integramos os dois lados. Vou fazer a integração explicando cada detalhe.
Integramos os dois lados. Vou fazer a integração explicando cada detalhe.
Integramos o lado esquerdo em
e o lado direito em
:
Para integrar
é conveniente reconhecer que é da forma
com
. Formalmente, com
temos
, então
No lado direito:
Juntando os resultados e absorvendo constantes em uma só constante
, obtemos
Multiplicando por
:
onde
é uma constante (igual a
). Aplicando a exponencial:
onde agora
é uma constante positiva (absorveu
). Como fisicamente
será sempre menor que
enquanto sobe para esse valor, temos
e podemos omitir o valor absoluto:
Resolvendo para
:
Essa é a solução geral da EDO.
Passo 5
Impondo a condição inicial (PVI)
para determinar
(parte da questão c):
Substituindo e
na expressão
Substituindo
logo
Então a solução particular (do PVI) é
Passo 6
Usando o dado extra
para determinar
(continuação do item c):
Substituímos e
em
Substituímos
Assim,
portanto
Tomando logaritmo natural,
logo
Isso faz sentido físico: a constante
indica que em
minutos a diferença caiu à metade (meia-vida térmica de 10 min).
Então a solução final do PVI é
Passo 7
Calcular a temperatura em
minutos (item d), passo a passo:
Usamos a solução encontrada
Usamos a solução encontrada
Para
:
Note que
. Então
Portanto, 20 minutos após o desligamento a temperatura é
.
Passo 8
Tempo para atingir
da temperatura do meio (item e), passo a passo:
A temperatura considerada “próxima” do meio é de
:
A temperatura considerada “próxima” do meio é
Queremos o menor
tal que
. Usamos a solução:
Isolando a exponencial:
logo
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Podemos reescrever de forma equivalente e mais “exata” usando
:
Valor numérico (aproximado):
Interpretando: cerca de
minutos para a sala ficar a menos de
da temperatura do meio.
Passo 9
Esboço do gráfico de
(item f) — descrição detalhada e pontos chave para você desenhar no caderno:
- Fórmula:
. - Comportamento:
- Em
: . Ponto inicial . - Em
: . Ponto conhecido (usado para ajustar ). - Em
: . - Assimptota horizontal:
quando . A curva sobe sempre, com derivada positiva, e é côncava para baixo (a velocidade de subida diminui com o tempo).
- Em
- Forma visual: uma curva exponencial crescente que parte de
, passa por em , por em e vai se aproximando de sem nunca ultrapassar. Seria bom desenhar a reta horizontal tracejada como assíntota e marcar os pontos .
Dica prática para desenhar rápido na prova: plote os três pontos dados e a assíntota, ligue com uma curva suave com inclinação inicial maior que a final e mostrando a concavidade para baixo.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) Descrição: curva exponencial crescente partindo em , passando por
e
, côncava para baixo e com assíntota horizontal em
.
b)
c)
d)
e)
f) Descrição: curva exponencial crescente partindo em