Um engenheiro está estudando a capacidade de retenção de calor de uma determinada edificação. Para isso, ele vai determinar a equação da curva de aquecimento de certa sala. Suponha que a temperatura do meio (temperatura da edificação) seja de 30^{\circ} \mathrm{C} e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo. Suponha que um aparelho de ar condicionado mantenha a temperatura dessa sala a 20^{\circ} \mathrm{C}. O engenheiro verificou que, 10 minutos após o aparelho ser desligado, a temperatura da sala passou para 25^{\circ} \mathrm{C}.
a) Escreva a equação diferencial que modela o problema da determinação da curva de aquecimento y(t).
b) Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas.
c) Resolva a equação diferencial (PVI).
d) Qual será a temperatura da sala 20 min após o desligamento do aquecedor?
e) Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5% menor que a temperatura do meio, quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio?
f) Faça um esboço do gráfico de y(t).

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar com calma o que foi dado e o que se pede, para não nos perdermos:
  • Dados:
    • Temperatura do meio (ambiente da edificação): \;30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura inicial da sala no instante em que o aparelho é desligado (t = 0): \;20^\circ\mathrm{C}.
    • Após \;10 minutos da desligamento, a temperatura da sala é \;25^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas:
    a) Escrever a equação diferencial que modela a curva de aquecimento y(t).
    b) Colocar essa equação no formato de variáveis separáveis.
    c) Resolver o PVI (problema de valor inicial) encontrando y(t).
    d) Calcular a temperatura da sala em t=20 minutos.
    e) Determinar o tempo em que a sala atinge uma temperatura que seja no máximo 5\% menor que a temperatura do meio (ou seja, quando y(t) atingir 95\% de 30^\circ\mathrm{C}).
    f) Fazer um esboço (descrição) do gráfico de y(t).

Passo 2

Escolhendo o modelo físico (expliquei o que significa e por que usar):
Quando um corpo troca calor com um meio de temperatura constante, a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Essa é a chamada Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento. Em palavras simples: quanto mais distante a temperatura da sala estiver da temperatura do ambiente, mais rápido ela muda; quando se aproxima, a velocidade de mudança diminui.
Escrevemos isso como uma equação diferencial com uma constante de proporcionalidade positiva k:
\frac{dy}{dt} = k\bigl(30 - y(t)\bigr).
Aqui:
  • y(t) é a temperatura da sala em graus Celsius no instante t (minutos).
  • 30 é a temperatura do meio (constante).
  • k>0 é a constante de troca térmica (unidade: min ^{-1}). Ela determina quão rápido a sala se aproxima de 30^\circ\mathrm{C}.
Esse é o item (a).

Passo 3

Colocando a equação diferencial no formato de variáveis separáveis (item b):
A equação
\frac{dy}{dt} = k(30-y)
pode ser rearranjada separando termos em y e em t. Dividimos por 30-y (assumindo y\neq 30 enquanto fazemos a integração) e multiplicamos por dt:
\frac{1}{30-y}\,dy = k\,dt.
Essa é a forma em variáveis separáveis. Agora integramos ambos os lados com respeito às suas variáveis.

Passo 4

Integração e resolução geral (passo-a-passo):
Integramos os dois lados. Vou fazer a integração explicando cada detalhe.
Integramos o lado esquerdo em y e o lado direito em t:
\int \frac{1}{30-y}\,dy = \int k\,dt.
Para integrar \int \frac{1}{30-y}\,dy é conveniente reconhecer que é da forma \int \frac{-1}{u}\,du com u=30-y. Formalmente, com u=30-y temos du=-dy, então
\int \frac{1}{30-y}\,dy = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C = -\ln|30-y| + C.
No lado direito:
\int k\,dt = kt + C'.
Juntando os resultados e absorvendo constantes em uma só constante C, obtemos
-\ln|30-y| = kt + C.
Multiplicando por -1:
\ln|30-y| = -kt + C_1,
onde C_1 é uma constante (igual a -C). Aplicando a exponencial:
|30-y| = e^{-kt+C_1} = Ce^{-kt},
onde agora C>0 é uma constante positiva (absorveu e^{C_1}). Como fisicamente y(t) será sempre menor que 30 enquanto sobe para esse valor, temos 30-y>0 e podemos omitir o valor absoluto:
30-y = C e^{-kt}.
Resolvendo para y:
y(t) = 30 - C e^{-kt}.
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 5

Impondo a condição inicial (PVI) y(0)=20 para determinar C (parte da questão c):
Substituindo t=0 e y(0)=20 na expressão
20 = 30 - C e^{-k\cdot 0} = 30 - C,
logo
C = 30 - 20 = 10.
Então a solução particular (do PVI) é
y(t) = 30 - 10 e^{-kt}.

Passo 6

Usando o dado extra y(10)=25 para determinar k (continuação do item c):
Substituímos t=10 e y(10)=25 em
25 = 30 - 10 e^{-10k}.
Assim,
10 e^{-10k} = 30 - 25 = 5,
portanto
e^{-10k} = \frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural,
-10k = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2,
logo
k = \frac{\ln 2}{10}.
Isso faz sentido físico: a constante k indica que em 10 minutos a diferença caiu à metade (meia-vida térmica de 10 min).
Então a solução final do PVI é
\boxed{y(t)=30-10e^{-\frac{\ln 2}{10}\,t}}.

Passo 7

Calcular a temperatura em t=20 minutos (item d), passo a passo:
Usamos a solução encontrada
y(t)=30-10e^{-\frac{\ln 2}{10}\,t}.
Para t=20:
y(20)=30-10e^{-\frac{\ln 2}{10}\cdot 20} = 30-10e^{-2\ln 2}.
Note que e^{-2\ln 2} = (e^{\ln 2})^{-2} = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}. Então
y(20)=30-10\cdot \tfrac{1}{4} = 30 - 2{,}5 = 27{,}5^\circ\mathrm{C}.
Portanto, 20 minutos após o desligamento a temperatura é \;27{,}5^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Tempo para atingir 95\% da temperatura do meio (item e), passo a passo:
A temperatura considerada “próxima” do meio é 95\% de 30^\circ\mathrm{C}:
0{,}95\cdot 30 = 28{,}5^\circ\mathrm{C}.
Queremos o menor t tal que y(t)=28{,}5. Usamos a solução:
28{,}5 = 30 - 10 e^{-\frac{\ln 2}{10}t}.
Isolando a exponencial:
10 e^{-\frac{\ln 2}{10}t} = 30 - 28{,}5 = 1{,}5,
logo
e^{-\frac{\ln 2}{10}t} = \frac{1{,}5}{10} = 0{,}15.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{\ln 2}{10}t = \ln(0{,}15).
Portanto
t = -\frac{10}{\ln 2}\ln(0{,}15).
Podemos reescrever de forma equivalente e mais “exata” usando 0{,}15=\tfrac{3}{20}:
t = \frac{10\ln\!\left(\tfrac{20}{3}\right)}{\ln 2}.
Valor numérico (aproximado):
t \approx 27{,}37\\ \text{minutos}.
Interpretando: cerca de 27{,}4 minutos para a sala ficar a menos de 5\% da temperatura do meio.

Passo 9

Esboço do gráfico de y(t) (item f) — descrição detalhada e pontos chave para você desenhar no caderno:
  • Fórmula: \;y(t)=30-10e^{-\frac{\ln 2}{10}t}.
  • Comportamento:
    • Em t=0: \;y(0)=20. Ponto inicial (0,20).
    • Em t=10: \;y(10)=25. Ponto conhecido (10,25) (usado para ajustar k).
    • Em t=20: \;y(20)=27{,}5.
    • Assimptota horizontal: \;y=30 quando t\to\infty. A curva sobe sempre, com derivada positiva, e é côncava para baixo (a velocidade de subida diminui com o tempo).
  • Forma visual: uma curva exponencial crescente que parte de 20, passa por 25 em t=10, por 27{,}5 em t=20 e vai se aproximando de 30 sem nunca ultrapassar. Seria bom desenhar a reta horizontal y=30 tracejada como assíntota e marcar os pontos (0,20), (10,25), (20,27{,}5).
Dica prática para desenhar rápido na prova: plote os três pontos dados e a assíntota, ligue com uma curva suave com inclinação inicial maior que a final e mostrando a concavidade para baixo.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dy}{dt}=k\bigl(30-y(t)\bigr).
b) \displaystyle \frac{1}{30-y}\,dy = k\,dt.
c) \displaystyle y(t)=30-10e^{-\frac{\ln 2}{10}\,t}.
d) \displaystyle y(20)=27{,}5^\circ\mathrm{C}.
e) \displaystyle t=\frac{10\ln\!\left(\tfrac{20}{3}\right)}{\ln 2}\approx 27{,}37\\ \text{min}.
f) Descrição: curva exponencial crescente partindo em (0,20), passando por (10,25) e (20,27{,}5), côncava para baixo e com assíntota horizontal em y=30.

Exercícios relacionados