Resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}=2(30-y), com y<30 e y(0)=20.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária e uma condição inicial. Especificamente:
  • A equação diferencial é \frac{dy}{dx}=2(30-y).
  • Foi dada a informação adicional de que y<30 (isto é, a solução procurada satisfaz y(x)<30 para os x considerados).
  • A condição inicial é y(0)=20.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
  • Aqui \frac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x; a equação diz que essa derivada depende apenas de y (não aparece x explicitamente do outro lado). Nesses casos é natural usar separação de variáveis: colocar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro, e depois integrar.
  • A vantagem: após separar, integramos ambos os lados e obtemos uma relação entre y e x com uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.

Passo 3

Separe as variáveis (passo a passo).
A equação dada é
\frac{dy}{dx}=2(30-y).
Queremos isolar dy com termos em y e dx com termos em x. Dividindo ambos os lados por 30-y (é permitido porque 30-y\neq0 para as soluções com y<30), obtemos
\frac{dy}{30-y}=2\,dx.
Aqui o lado esquerdo é uma expressão só em y multiplicando dy e o lado direito é só em x multiplicando dx: prontinho para integrar.

Passo 4

Integre ambos os lados (mostrando substituição).
Integramos:
\int \frac{dy}{30-y}=\int 2\,dx.
Para integrar o lado esquerdo é conveniente fazer a substituição u=30-y. Então du=-dy. Assim
\int \frac{dy}{30-y} = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C_1 = -\ln|30-y| + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. No lado direito
\int 2\,dx = 2x + C_2.
Juntando os dois lados e absorvendo constantes numa só constante C (por exemplo C=C_2-C_1), obtemos
-\ln|30-y| = 2x + C,
ou multiplicando por -1,
\ln|30-y| = -2x + C'.

Passo 5

Exponencie e trate o valor absoluto usando a condição y<30.
Exponenciando ambos os lados:
|30-y| = e^{C'} e^{-2x}.
Escrevendo e^{C'}=C (uma constante positiva), temos
|30-y| = C e^{-2x},\qquad C>0.
Agora usamos a informação do enunciado y<30. Isso implica 30-y>0, então o valor absoluto pode ser removido sem sinal:
30-y = C e^{-2x}.
Isolando y:
y(x)=30 - C e^{-2x}.

Passo 6

Determine a constante usando a condição inicial y(0)=20.
Aplique x=0 e y(0)=20:
20 = 30 - C e^{0} = 30 - C.
Logo
C = 30-20 = 10.
Substituindo de volta na solução geral:
y(x)=30 - 10 e^{-2x}.

Passo 7

Verificação rápida e interpretação (para você entender e decorar a técnica).
  • Verificação: calcule \frac{dy}{dx} da solução encontrada:
\frac{dy}{dx} = -10\cdot(-2)e^{-2x} = 20 e^{-2x}.
Calcule 2(30-y) usando y(x):
2(30-y)=2\big(30-(30-10e^{-2x})\big)=2(10e^{-2x})=20e^{-2x},
coincide com \frac{dy}{dx}. Portanto a solução satisfaz a equação diferencial.
  • Sobre a condição y<30: para todo x temos e^{-2x}>0, então y(x)=30-10e^{-2x}<30, consistente com a condição dada.
  • Comportamento: y(0)=20 e quando x\to+\infty, e^{-2x}\to0 então y(x)\to30. A solução cresce de 20 para se aproximar assintoticamente de 30.

Resposta

y(x)=30-10e^{-2x}

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