Resolva o problema de valor inicial.
, com
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária e uma condição inicial. Especificamente:
- A equação diferencial é
. - Foi dada a informação adicional de que
(isto é, a solução procurada satisfaz para os considerados). - A condição inicial é
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
- Aqui
é a derivada de em relação a ; a equação diz que essa derivada depende apenas de (não aparece explicitamente do outro lado). Nesses casos é natural usar separação de variáveis: colocar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro, e depois integrar. - A vantagem: após separar, integramos ambos os lados e obtemos uma relação entre
e com uma constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.
Passo 3
Separe as variáveis (passo a passo).
A equação dada é
A equação dada é
Queremos isolar
com termos em
e
com termos em
. Dividindo ambos os lados por
(é permitido porque
para as soluções com
), obtemos
Aqui o lado esquerdo é uma expressão só em
multiplicando
e o lado direito é só em
multiplicando
: prontinho para integrar.
Passo 4
Integre ambos os lados (mostrando substituição).
Integramos:
Integramos:
Para integrar o lado esquerdo é conveniente fazer a substituição
. Então
. Assim
onde
é uma constante de integração. No lado direito
Juntando os dois lados e absorvendo constantes numa só constante
(por exemplo
), obtemos
ou multiplicando por
,
Passo 5
Exponencie e trate o valor absoluto usando a condição
.
Exponenciando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados:
Escrevendo
(uma constante positiva), temos
Agora usamos a informação do enunciado
. Isso implica
, então o valor absoluto pode ser removido sem sinal:
Isolando
:
Passo 6
Determine a constante usando a condição inicial
.
Aplique e
:
Aplique
Logo
Substituindo de volta na solução geral:
Passo 7
Verificação rápida e interpretação (para você entender e decorar a técnica).
- Verificação: calcule
da solução encontrada:
Calcule
usando
:
coincide com
. Portanto a solução satisfaz a equação diferencial.
- Sobre a condição
: para todo temos , então , consistente com a condição dada. - Comportamento:
e quando , então . A solução cresce de para se aproximar assintoticamente de .