Uma população de 1000 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie. Depois de um certo período, observou-se que a taxa de crescimento relativo era de
ao ano, isto é,
.
a) Sendo
a população em um instante
qualquer (t em anos), qual é a equação diferencial que representa este modelo?
b) Qual é a solução da equação diferencial com o valor inicial
?
c) Utilizando a equação obtida no item c, qual é a população estimada um ano após a inserção?
d) Calculo e tempo de duplicação (doubling time) para esta população. Dado
.
a) Sendo
b) Qual é a solução da equação diferencial com o valor inicial
c) Utilizando a equação obtida no item c, qual é a população estimada um ano após a inserção?
d) Calculo e tempo de duplicação (doubling time) para esta população. Dado
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e nos dá informações claras. Vou listar ambas as coisas para ficar bem organizado.
-
Perguntas:
- (a) Qual é a equação diferencial que representa o modelo de crescimento dado?
- (b) Qual é a solução dessa equação diferencial com a condição inicial
? - (c) Usando a solução do item (b), qual é a população estimada 1 ano após a inserção?
- (d) Qual é o tempo de duplicação (doubling time) da população? Foi dado
.
-
Dados fornecidos:
- População inicial:
. - Taxa de crescimento relativo:
ao ano. - Tempo
está em anos. - O ambiente foi introduzido sem limitações inicialmente (ou seja, o crescimento é proporcional à população).
- População inicial:
Passo 2
Entendendo o que significa “taxa de crescimento relativo”: isso quer dizer que a taxa instantânea de aumento da população, ou seja
, é proporcional ao tamanho atual da população
. Em linguagem matemática a “proporcionalidade” é escrita assim:
Aqui:
-
é a derivada de em relação ao tempo , ou seja a taxa instantânea de variação da população. -
é a população no instante . -
é a constante de proporcionalidade (taxa relativa), dada como .
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação diferencial no formato mais comum:
Portanto a equação diferencial que modela o enunciado é
. Vou agora resolver essa equação.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial
por separação de variáveis (um método direto e elementar):
- Escrevemos em forma separável:
Isso significa que colocamos todas as quantidades com
num lado e com
no outro.
- Integramos ambos os lados:
As integrais são básicas:
Podemos juntar as constantes num único
. Assim:
- Exponenciando para isolar
:
Como
representa população,
, então podemos remover o valor absoluto e escrever
, onde
. Portanto a solução geral é
com
constante determinada pela condição inicial.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
para determinar
:
- Substituímos
na solução geral:
- Como
, segue que .
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Interpretação rápida: a população cresce exponencialmente, com fator
; depois de 1 ano o multiplicador será
, depois de
anos será
.
Passo 5
Calcular a população estimada um ano após a inserção (ou seja
):
- Usando a solução:
- Se você não tiver calculadora, uma aproximação por série de Taylor de
para pequenos é útil:
para
dá
Multiplicando por
:
- Com calculadora a precisão é um pouco maior:
, então . Ambas as aproximações mostram que a população sobe para cerca de indivíduos após 1 ano.
Passo 6
Calcular o tempo de duplicação
(doubling time): é o tempo necessário para que
.
- Partimos da solução
. A condição é:
Cancelando
dos dois lados:
- Tomamos logaritmo natural:
- Isolando
:
- Usando o valor aproximado fornecido pelo enunciado
, obtemos:
(Se usarmos o valor mais exato
teríamos
anos; mas seguindo o enunciado o resultado é
anos arredondado.)
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
(aproximação; com mais precisão
).
(d)
.