Uma população de 1000 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie. Depois de um certo período, observou-se que a taxa de crescimento relativo era de 5 \% ao ano, isto é, \mathrm{k}=0,05.
a) Sendo P(t) a população em um instante t qualquer (t em anos), qual é a equação diferencial que representa este modelo?
b) Qual é a solução da equação diferencial com o valor inicial P(0)=1000 ?
c) Utilizando a equação obtida no item c, qual é a população estimada um ano após a inserção?
d) Calculo e tempo de duplicação (doubling time) para esta população. Dado \ln 2 \approx 0,7.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá informações claras. Vou listar ambas as coisas para ficar bem organizado.
  • Perguntas:
    1. (a) Qual é a equação diferencial que representa o modelo de crescimento dado?
    2. (b) Qual é a solução dessa equação diferencial com a condição inicial P(0)=1000?
    3. (c) Usando a solução do item (b), qual é a população estimada 1 ano após a inserção?
    4. (d) Qual é o tempo de duplicação (doubling time) da população? Foi dado \ln 2 \approx 0,7.
  • Dados fornecidos:
    • População inicial: P(0)=1000.
    • Taxa de crescimento relativo: k=0,05 ao ano.
    • Tempo t está em anos.
    • O ambiente foi introduzido sem limitações inicialmente (ou seja, o crescimento é proporcional à população).

Passo 2

Entendendo o que significa “taxa de crescimento relativo”: isso quer dizer que a taxa instantânea de aumento da população, ou seja \dfrac{dP}{dt}, é proporcional ao tamanho atual da população P. Em linguagem matemática a “proporcionalidade” é escrita assim:
\frac{1}{P}\,\frac{dP}{dt}=k.
Aqui:
  • \dfrac{dP}{dt} é a derivada de P em relação ao tempo t, ou seja a taxa instantânea de variação da população.
  • P é a população no instante t.
  • k é a constante de proporcionalidade (taxa relativa), dada como k=0,05.
Multiplicando ambos os lados por P obtemos a equação diferencial no formato mais comum:
\frac{dP}{dt}=kP.
Portanto a equação diferencial que modela o enunciado é \dfrac{dP}{dt}=kP. Vou agora resolver essa equação.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial \dfrac{dP}{dt}=kP por separação de variáveis (um método direto e elementar):
  1. Escrevemos em forma separável:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Isso significa que colocamos todas as quantidades com P num lado e com t no outro.
  1. Integramos ambos os lados:
\int \frac{dP}{P}=\int k\,dt.
As integrais são básicas:
\int \frac{dP}{P}=\ln|P| + C_1,\qquad \int k\,dt = kt + C_2.
Podemos juntar as constantes num único C. Assim:
\ln|P| = kt + C.
  1. Exponenciando para isolar P:
|P| = e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
Como P representa população, P>0, então podemos remover o valor absoluto e escrever P=C_0 e^{kt}, onde C_0=e^{C}>0. Portanto a solução geral é
P(t)=C_0 e^{kt},
com C_0 constante determinada pela condição inicial.

Passo 4

Aplicando a condição inicial P(0)=1000 para determinar C_0:
  1. Substituímos t=0 na solução geral:
P(0)=C_0 e^{k\cdot 0}=C_0 e^{0}=C_0.
  1. Como P(0)=1000, segue que C_0=1000.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
P(t)=1000\,e^{0,05t}.
Interpretação rápida: a população cresce exponencialmente, com fator e^{0,05t}; depois de 1 ano o multiplicador será e^{0,05}, depois de t anos será e^{0,05t}.

Passo 5

Calcular a população estimada um ano após a inserção (ou seja t=1):
  1. Usando a solução:
P(1)=1000\,e^{0,05\cdot 1}=1000\,e^{0,05}.
  1. Se você não tiver calculadora, uma aproximação por série de Taylor de e^{x} para pequenos x é útil:
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2},
para x=0,05
e^{0,05}\approx 1+0,05+\frac{0,05^{2}}{2}=1+0,05+0,00125=1,05125.
Multiplicando por 1000:
P(1)\approx 1000\times 1,05125=1051,25.
  1. Com calculadora a precisão é um pouco maior: e^{0,05}\approx 1,051271, então P(1)\approx 1051,27. Ambas as aproximações mostram que a população sobe para cerca de 1051 indivíduos após 1 ano.

Passo 6

Calcular o tempo de duplicação T (doubling time): é o tempo necessário para que P(T)=2P(0).
  1. Partimos da solução P(t)=1000\,e^{0,05t}. A condição P(T)=2P(0) é:
1000\,e^{0,05T}=2\cdot 1000.
Cancelando 1000 dos dois lados:
e^{0,05T}=2.
  1. Tomamos logaritmo natural:
0,05T=\ln 2.
  1. Isolando T:
T=\frac{\ln 2}{0,05}.
  1. Usando o valor aproximado fornecido pelo enunciado \ln 2\approx 0,7, obtemos:
T\approx \frac{0,7}{0,05}=\frac{0,7}{0,05}=14\\ \text{anos}.
(Se usarmos o valor mais exato \ln 2\approx 0,6931 teríamos T\approx 13,862 anos; mas seguindo o enunciado o resultado é 14 anos arredondado.)

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dP}{dt}=kP.
(b) \displaystyle P(t)=1000\,e^{0,05t}.
(c) \displaystyle P(1)=1000\,e^{0,05}\approx 1051,25 (aproximação; com mais precisão P(1)\approx 1051,27).
(d) \displaystyle T=\frac{\ln 2}{0,05}\approx 14\\ \text{anos}.

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