Considere o modelo \frac{d P}{d t}=k P.
a) Utilizando a técnica de separação de variáveis, obtenha P em função de t .
b) Mostre que e^{C} é o valor inicial (população incial), isto é, mostre que \mathrm{P}(0)=e^{C}=P_{0} (condição inicial)
c) Mostre que a solução do modelo é P(t)=P_{0} e^{k t} , onde P_{0} é a população inicial (em t=0 ), k é uma constante para cada caso e t é o tempo.

Passo 1

O enunciado dá o modelo diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
e pede três coisas:
  1. (a) Usando separação de variáveis, obter P em função de t.
  2. (b) Mostrar que e^{C} é o valor inicial, ou seja, provar que P(0)=e^{C}=P_{0}.
  3. (c) Mostrar que a solução pode ser escrita como P(t)=P_{0}e^{kt}, onde P_{0} é a população em t=0, k é constante e t é o tempo.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial acima e a existência de uma constante k. Não há mais condições numéricas além da possível condição inicial em t=0.

Passo 2

Vamos começar pela técnica de separação de variáveis. A ideia é rearranjar a equação diferencial de modo que todos os termos em P fiquem num lado e todos os termos em t fiquem no outro, para então integrar cada lado. Partimos de
\frac{dP}{dt}=kP.
Se P depende de t, podemos escrever dP e dt e separar:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Explicação didática: dividir por P é válido desde que P\neq 0. Para modelos de população normalmente consideramos P>0; se P pudesse ser zero, esse caso também pode ser tratado à parte. Aqui seguimos o caso padrão P>0, então a separação é legítima.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Integração é a operação inversa da diferenciação; integrais indefinidas introduzem uma constante de integração. Integramos:
\int \frac{dP}{P}=\int k\,dt.
Calculamos cada integral. A integral de 1/P em relação a P é o logaritmo natural:
\int \frac{dP}{P}=\ln|P|+C_1,
onde C_1 é uma constante. Do outro lado, k é constante em relação a t, logo
\int k\,dt = kt + C_2,
onde C_2 é outra constante. Juntando e consolidando as constantes (subtraindo C_1 de ambos os lados e chamando o resultado de C) obtemos:
\ln|P| = kt + C.
Aqui expliquei o passo das constantes: duas constantes arbitrárias C_1 e C_2 podem ser combinadas em uma só diferença C=C_2-C_1.

Passo 4

Agora vamos “desfazer” o logaritmo aplicando exponencial nas duas partes. Exponenciar é a operação inversa do logaritmo natural. Aplicando e^{(\cdot)} em ambos os lados:
e^{\ln|P|} = e^{kt+C}.
Pelo fato de e^{\ln|P|}=|P|, obtemos
|P| = e^{kt+C}.
Usando a propriedade de potências, podemos separar e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}. Assim
|P| = e^{C} e^{kt}.

Passo 5

Como estamos tratando de população, normalmente consideramos P\ge 0. Então o módulo pode ser removido e substituímos por P (assumindo solução positiva):
P = e^{C} e^{kt}.
Para simplificar a constante, note que e^{C} é um número positivo (pois a exponencial de qualquer real é positiva). Podemos definir uma nova constante positiva P_{0} igual a e^{C}:
P_{0} \equiv e^{C}.
Então obtemos a forma mais familiar da solução geral:
P(t)=P_{0}e^{kt}.

Passo 6

Agora mostramos explicitamente que e^{C} é a população inicial. Avaliando a solução em t=0:
P(0)=e^{C} e^{k\cdot 0}=e^{C} e^{0}=e^{C}\cdot 1 = e^{C}.
Portanto, se chamarmos P_{0} o valor inicial P(0), temos P_{0}=e^{C}. Isso conclui que a constante multiplicativa obtida após integrar é exatamente a população no instante inicial.

Passo 7

Recapitulando para ficar bem claro como aplicar isso em prova:
  • Separe variáveis: passe todos os P (com dP) para um lado e t (com dt) para o outro.
  • Integre ambos os lados e lembre-se de juntar as constantes em uma só.
  • Exponencie para eliminar o \ln.
  • Use a condição inicial t=0 para interpretar a constante e^{C} como P_{0}.
    Com isso, a solução fica na forma prática e testável:
P(t)=P_{0}e^{kt},
onde P_{0}=P(0)=e^{C}.

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
(b) \displaystyle P(0)=e^{C}=P_{0}.
(c) \displaystyle P(t)=P_{0}e^{kt}.

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