Considere o modelo
.
a) Utilizando a técnica de separação de variáveis, obtenha P em função de t .
b) Mostre que
é o valor inicial (população incial), isto é, mostre que
(condição inicial)
c) Mostre que a solução do modelo é
, onde
é a população inicial (em
), k é uma constante para cada caso e t é o tempo.
a) Utilizando a técnica de separação de variáveis, obtenha P em função de t .
b) Mostre que
c) Mostre que a solução do modelo é
Passo 1
O enunciado dá o modelo diferencial
e pede três coisas:
- (a) Usando separação de variáveis, obter
em função de . - (b) Mostrar que
é o valor inicial, ou seja, provar que . - (c) Mostrar que a solução pode ser escrita como
, onde é a população em , é constante e é o tempo.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial acima e a existência de uma constante
. Não há mais condições numéricas além da possível condição inicial em
.
Passo 2
Vamos começar pela técnica de separação de variáveis. A ideia é rearranjar a equação diferencial de modo que todos os termos em
fiquem num lado e todos os termos em
fiquem no outro, para então integrar cada lado. Partimos de
Se
depende de
, podemos escrever
e
e separar:
Explicação didática: dividir por
é válido desde que
. Para modelos de população normalmente consideramos
; se
pudesse ser zero, esse caso também pode ser tratado à parte. Aqui seguimos o caso padrão
, então a separação é legítima.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Integração é a operação inversa da diferenciação; integrais indefinidas introduzem uma constante de integração. Integramos:
Calculamos cada integral. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
onde
é uma constante. Do outro lado,
é constante em relação a
, logo
onde
é outra constante. Juntando e consolidando as constantes (subtraindo
de ambos os lados e chamando o resultado de
) obtemos:
Aqui expliquei o passo das constantes: duas constantes arbitrárias
e
podem ser combinadas em uma só diferença
.
Passo 4
Agora vamos “desfazer” o logaritmo aplicando exponencial nas duas partes. Exponenciar é a operação inversa do logaritmo natural. Aplicando
em ambos os lados:
Pelo fato de
, obtemos
Usando a propriedade de potências, podemos separar
. Assim
Passo 5
Como estamos tratando de população, normalmente consideramos
. Então o módulo pode ser removido e substituímos por
(assumindo solução positiva):
Para simplificar a constante, note que
é um número positivo (pois a exponencial de qualquer real é positiva). Podemos definir uma nova constante positiva
igual a
:
Então obtemos a forma mais familiar da solução geral:
Passo 6
Agora mostramos explicitamente que
é a população inicial. Avaliando a solução em
:
Portanto, se chamarmos
o valor inicial
, temos
. Isso conclui que a constante multiplicativa obtida após integrar é exatamente a população no instante inicial.
Passo 7
Recapitulando para ficar bem claro como aplicar isso em prova:
- Separe variáveis: passe todos os
(com ) para um lado e (com ) para o outro. - Integre ambos os lados e lembre-se de juntar as constantes em uma só.
- Exponencie para eliminar o
. - Use a condição inicial
para interpretar a constante como .
Com isso, a solução fica na forma prática e testável:
onde
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)