(a) Resolva a equação diferencial
.
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular para a equação diferencial
(c) Determine a solução geral para a equação diferencial do item (b).
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular para a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Resolver a equação diferencial homogênea
. - (b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontrar uma solução particular de
- (c) Determinar a solução geral da equação do item (b).
Informações dadas que vou usar:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A parte não-homogênea é soma de um polinômio
e de uma exponencial .
Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea
.
A técnica padrão: procurar soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
Resolver essa equação algébrica dá as raízes:
Como as duas raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes indeterminados e decidir o ansatz (palpite) para a solução particular.
Regra rápida do método:
- Para cada termo da parte direita da forma
(onde é polinômio de grau ), tenta-se um polinômio de grau multiplicado por . - Se
corresponder a uma raiz da equação característica de multiplicidade , multiplica-se o palpite por .
Na nossa equação a parte direita é
, que é soma de dois termos:
-
: corresponde a com . - Como
e é raiz da característica (com multiplicidade ), devemos multiplicar o palpite polinomial por . Assim, o palpite para essa parte é .
- Como
-
: corresponde a com . - Como
é também raiz da característica (raiz de multiplicidade ), devemos multiplicar o palpite por . Assim, o palpite para essa parte é .
- Como
Somando os palpites: escolhemos
onde
são constantes a determinar.
Passo 4
Calcular
e
explicitamente, separando as partes polinomial e exponencial para ficar organizado.
Escrevendo
com
e
.
Para a parte polinomial:
Para a parte exponencial usar regra do produto:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Derivar :
Derivar
Desenvolvendo:
Passo 5
Agora somar as contribuições para obter
.
Somando as partes:
Logo
Agrupando termos polinomiais e exponenciais separadamente:
Termos polinomiais (em potências de
, sem
):
Termos exponenciais (multiplicados por
):
Observe que os termos em
se cancelam — é esperado quando escolhemos corretamente o palpite multiplicado por
.
Portanto
Passo 6
Igualar
à parte direita
e determinar
comparando coeficientes.
Temos a identidade (para todo
):
Comparando coeficiente de
:
Comparando termos constantes (parte polinomial):
Substituindo
:
Comparando coeficiente de
:
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada substituindo
.
Assim
Passo 8
Formar a solução geral da equação não-homogênea somando a solução geral da homogênea e a particular:
Da Passo 2 temos
. Então a solução geral é
Se quiser, pode deixar combinada a parte em
como
, mas a forma acima já é clara e correta.
Resposta
(a)
(b)
(c)