Um engenheiro suspeita que a qualidade do acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciada pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem ( 20,25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados abaixo.
a. Qual a unidade experimental, quais são os fatores, qual é a variável resposta e quantos tratamentos temos?
b. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
c. Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento em termos dos parâmetros e em termos do problema.
d. Construa um gráfico que permite estudar a possível existência de interação entre os fatores do estudo. O que o gráfico parece sugerir?
e. Teste as hipóteses estabelecidas no item c) utilizando um nível de significância de
e discuta as conclusões obtidas. Se necessário, conduza testes de comparações múltiplas e discuta as conclusões obtidas.
f. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.
Tinta
Tempo de secagem (min)
20
25
30
1
74
73
78
64
61
85
50
44
92
2
92
98
66
86
73
45
68
88
85
a. Qual a unidade experimental, quais são os fatores, qual é a variável resposta e quantos tratamentos temos?
b. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
c. Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento em termos dos parâmetros e em termos do problema.
d. Construa um gráfico que permite estudar a possível existência de interação entre os fatores do estudo. O que o gráfico parece sugerir?
e. Teste as hipóteses estabelecidas no item c) utilizando um nível de significância de
f. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.
Tinta | Tempo de secagem (min) | ||
20 | 25 | 30 | |
1 | 74 | 73 | 78 |
64 | 61 | 85 | |
50 | 44 | 92 | |
2 | 92 | 98 | 66 |
86 | 73 | 45 | |
68 | 88 | 85 |
Passo 1
O enunciado descreve um experimento de dois fatores com medidas repetidas: temos dois tipos de tinta e três tempos de secagem (
,
e
minutos), e cada combinação é aplicada em três peças (total de
observações). A variável resposta é a qualidade do acabamento da superfície. Para analisar usaremos o modelo de ANOVA fatorial
com interação.
Passo 2
Item (a):
– Unidade experimental: cada peça metálica.
– Fatores: tipo de tinta ( níveis) e tempo de secagem (
níveis).
– Variável resposta: qualidade do acabamento (pontuação numérica).
– Número de tratamentos: .
– Unidade experimental: cada peça metálica.
– Fatores: tipo de tinta (
– Variável resposta: qualidade do acabamento (pontuação numérica).
– Número de tratamentos:
Passo 3
Item (b):
O modelo estatístico é
O modelo estatístico é
com
(tinta),
(tempo),
(réplicas).
Aqui é o efeito geral,
o efeito do
-ésimo tipo de tinta,
o efeito do
-ésimo tempo de secagem,
a interação entre tinta e tempo, e
o erro experimental.
Aqui
Passo 4
Item (c):
Em termos de parâmetros, as hipóteses são
Em termos de parâmetros, as hipóteses são
Para os efeitos principais (assumindo
aceita):
Em termos do problema, testamos se há interação tinta×tempo, e então se os tipos de tinta têm médias diferentes e se os tempos de secagem diferem entre si.
Passo 5
Item (d):
Calculamos as médias de cada célula ,
:
Calculamos as médias de cada célula
Traçamos o gráfico de interação ligando essas médias para cada tinta em função do tempo:
As duas linhas cruzam-se e não são paralelas, sugerindo interação entre tinta e tempo.
Passo 6
Item (e):
Montamos a ANOVA:
Montamos a ANOVA:
Ao nível
, o valor crítico
.
Como , rejeitamos
: há interação significativa. Assim, não faz sentido interpretar efeitos principais isoladamente. Se quisermos prosseguir, analisaríamos efeitos simples de tempo dentro de cada tinta (ex.: testes de Tukey para comparar os três tempos separadamente para cada tinta).
Como
Passo 7
Item (f):
Construímos os gráficos de resíduos:
– Resíduo versus valor ajustado: verificamos homocedasticidade (nuvem de pontos sem padrão).
– QQ‐plot dos resíduos: avaliamos normalidade (pontos próximos da reta).
– Resíduo versus ordem de coleta: avaliamos independência (ausência de tendência).
Se os resíduos se distribuírem aleatoriamente sem padrão, com pontos próximos da reta no QQ‐plot e variância aproximadamente constante, as suposições do modelo estão atendidas.
Construímos os gráficos de resíduos:
– Resíduo versus valor ajustado: verificamos homocedasticidade (nuvem de pontos sem padrão).
– QQ‐plot dos resíduos: avaliamos normalidade (pontos próximos da reta).
– Resíduo versus ordem de coleta: avaliamos independência (ausência de tendência).
Se os resíduos se distribuírem aleatoriamente sem padrão, com pontos próximos da reta no QQ‐plot e variância aproximadamente constante, as suposições do modelo estão atendidas.
Resposta
a) Unidade experimental: cada peça. Fatores: tipo de tinta (
níveis) e tempo de secagem (
níveis). Resposta: qualidade do acabamento. Tratamentos:
.
b) , com
.
c) ,vs.,
.
Sob :
,vs.,
algum
;
,vs.,
algum
.
d) Gráfico de interação mostra linhas que não são paralelas e até se cruzam, indicando interação entre tinta e tempo.
e) Na ANOVA, , rejeita-se
. Há interação significativa, logo investigam-se efeitos simples (e.g.\ Tukey) dentro de cada tipo de tinta.
f) Os gráficos de resíduos (resíduo vs. ajustado, QQ‐plot, resíduos vs. ordem) devem mostrar ausência de padrão, aderência à reta no QQ‐plot e variância constante, confirmando normalidade, independência e homocedasticidade.
b)
c)
Sob
d) Gráfico de interação mostra linhas que não são paralelas e até se cruzam, indicando interação entre tinta e tempo.
e) Na ANOVA,
f) Os gráficos de resíduos (resíduo vs. ajustado, QQ‐plot, resíduos vs. ordem) devem mostrar ausência de padrão, aderência à reta no QQ‐plot e variância constante, confirmando normalidade, independência e homocedasticidade.