Um engenheiro suspeita que a qualidade do acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciada pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem ( 20,25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados abaixo.
a. Qual a unidade experimental, quais são os fatores, qual é a variável resposta e quantos tratamentos temos?
b. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
c. Estabeleça as hipóteses de interesse nesse experimento em termos dos parâmetros e em termos do problema.
d. Construa um gráfico que permite estudar a possível existência de interação entre os fatores do estudo. O que o gráfico parece sugerir?
e. Teste as hipóteses estabelecidas no item c) utilizando um nível de significância de 5 \% e discuta as conclusões obtidas. Se necessário, conduza testes de comparações múltiplas e discuta as conclusões obtidas.
f. Construa adequados gráficos de resíduos e comente a respeito da validade de cada uma das suposições do modelo.
Tinta Tempo de secagem (min)
20 25 30
1 74 73 78
64 61 85
50 44 92
2 92 98 66
86 73 45
68 88 85

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de dois fatores com medidas repetidas: temos dois tipos de tinta e três tempos de secagem ( 20, 25 e 30 minutos), e cada combinação é aplicada em três peças (total de 2\times3\times3=18 observações). A variável resposta é a qualidade do acabamento da superfície. Para analisar usaremos o modelo de ANOVA fatorial 2\times 3 com interação.

Passo 2

Item (a):
– Unidade experimental: cada peça metálica.
– Fatores: tipo de tinta ( 2 níveis) e tempo de secagem ( 3 níveis).
– Variável resposta: qualidade do acabamento (pontuação numérica).
– Número de tratamentos: 2\times3=6.

Passo 3

Item (b):
O modelo estatístico é
Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk},
com i=1,2 (tinta), j=1,2,3 (tempo), k=1,2,3 (réplicas).
Aqui \mu é o efeito geral, \alpha_i o efeito do i-ésimo tipo de tinta, \beta_j o efeito do j-ésimo tempo de secagem, (\alpha\beta)_{ij} a interação entre tinta e tempo, e \varepsilon_{ijk}\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2) o erro experimental.

Passo 4

Item (c):
Em termos de parâmetros, as hipóteses são
H_0^{\text{int}}:\;(\alpha\beta)_{ij}=0\;\forall i,j \quad\text{vs.}\quad H_1^{\text{int}}:\;\text{pelo menos um }(\alpha\beta)_{ij}\neq0.
Para os efeitos principais (assumindo H_0^{\text{int}} aceita):
H_0^A:\;\alpha_1=\alpha_2=0 \quad\text{vs.}\quad H_1^A:\;\text{algum }\alpha_i\neq0,
H_0^B:\;\beta_1=\beta_2=\beta_3=0 \quad\text{vs.}\quad H_1^B:\;\text{algum }\beta_j\neq0.
Em termos do problema, testamos se há interação tinta×tempo, e então se os tipos de tinta têm médias diferentes e se os tempos de secagem diferem entre si.

Passo 5

Item (d):
Calculamos as médias de cada célula i, j:
\begin{matrix} \text{Tinta 1:}&\bar Y_{1,1}=62{,}67,&\bar Y_{1,2}=59{,}33,&\bar Y_{1,3}=85{,}00,\\\ \text{Tinta 2:}&\bar Y_{2,1}=82{,}00,&\bar Y_{2,2}=86{,}33,&\bar Y_{2,3}=65{,}33. \end{matrix}
Traçamos o gráfico de interação ligando essas médias para cada tinta em função do tempo:
\begin{array}{c} \text{Tempo}\to\;20\quad25\quad30\\\ \text{Tinta 1:}\;\bigcirc\text{(62{,}7)}\!-\!\bigcirc\text{(59{,}3)}\!-\!\bigcirc\text{(85{,}0)}\\\ \text{Tinta 2:}\;\bigcirc\text{(82{,}0)}\!-\!\bigcirc\text{(86{,}3)}\!-\!\bigcirc\text{(65{,}3)} \end{array}
As duas linhas cruzam-se e não são paralelas, sugerindo interação entre tinta e tempo.

Passo 6

Item (e):
Montamos a ANOVA:
\begin{array}{lrrrr} \hline \text{Fonte} & \text{SQ} & \text{df} & \text{MS} & F\\\ \hline \text{Tinta} & 355{,}56 & 1 & 355{,}56 & F_{1,12}=1{,}90\\\ \text{Tempo} & 27{,}44 & 2 & 13{,}72 & F_{2,12}=0{,}07\\\ \text{Interação} & 1878{,}78& 2 & 939{,}39 & F_{2,12}=5{,}03^*\\\ \text{Erro} & 2242{,}67&12 &186{,}89&\\\ \hline \text{Total} &4504{,}44&17&&\\\ \hline \end{array}
Ao nível \alpha=5\%, o valor crítico F_{2,12;0{,}95}\approx3{,}89.
Como 5{,}03>3{,}89, rejeitamos H_0^{\text{int}}: há interação significativa. Assim, não faz sentido interpretar efeitos principais isoladamente. Se quisermos prosseguir, analisaríamos efeitos simples de tempo dentro de cada tinta (ex.: testes de Tukey para comparar os três tempos separadamente para cada tinta).

Passo 7

Item (f):
Construímos os gráficos de resíduos:
– Resíduo versus valor ajustado: verificamos homocedasticidade (nuvem de pontos sem padrão).
– QQ‐plot dos resíduos: avaliamos normalidade (pontos próximos da reta).
– Resíduo versus ordem de coleta: avaliamos independência (ausência de tendência).
Se os resíduos se distribuírem aleatoriamente sem padrão, com pontos próximos da reta no QQ‐plot e variância aproximadamente constante, as suposições do modelo estão atendidas.

Resposta

a) Unidade experimental: cada peça. Fatores: tipo de tinta ( 2 níveis) e tempo de secagem ( 3 níveis). Resposta: qualidade do acabamento. Tratamentos: 6.
b) \;Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}, com \varepsilon_{ijk}\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2).
c) \;H_0^{\text{int}}:(\alpha\beta)_{ij}=0,vs., \\ H_1^{\text{int}}:\text{algum}\,(\alpha\beta)_{ij}\neq0.
Sob H_0^{\text{int}}: \;H_0^A:\alpha_1=\alpha_2=0,vs., H_1^A:algum \alpha_i\neq0; \;H_0^B:\beta_1=\beta_2=\beta_3=0,vs., H_1^B:algum \beta_j\neq0.
d) Gráfico de interação mostra linhas que não são paralelas e até se cruzam, indicando interação entre tinta e tempo.
e) Na ANOVA, F_{\text{int}}=5{,}03>3{,}89, rejeita-se H_0^{\text{int}}. Há interação significativa, logo investigam-se efeitos simples (e.g.\ Tukey) dentro de cada tipo de tinta.
f) Os gráficos de resíduos (resíduo vs. ajustado, QQ‐plot, resíduos vs. ordem) devem mostrar ausência de padrão, aderência à reta no QQ‐plot e variância constante, confirmando normalidade, independência e homocedasticidade.

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