(2,0) Suponha que a média calculada para os 100 resistores do problema anterior da amostra seja 1001,7 \Omega. Estes dados são significativos para afirmar que houve alteração na resistência média deste fabricante? Justifique sua conclusão baseando-a em uma significância de 5%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\;n=100 (tamanho da amostra), \;\bar{x}=1001,7\\ \Omega (média amostral) e nível de significância \alpha=0,05. A pergunta é: “estes dados são significativos para afirmar que houve alteração na resistência média deste fabricante?” — ou seja, é um teste para detectar alteração na média (teste bilateral).
Informações que NÃO foram fornecidas no enunciado que são necessárias para calcular a decisão numérica do teste:
  • o valor da média reivindicada pelo fabricante (vou chamar de \mu_0); e
  • o desvio padrão populacional \sigma OU o desvio padrão amostral s.
Sem saber \mu_0 e pelo menos um dos desvios ( \sigma ou s) não dá para calcular o estatístico numérico e, portanto, não dá para decidir numericamente se rejeitamos ou não H_0. A resolução a seguir explica passo a passo exatamente o que fazer assim que essas quantidades estiverem conhecidas.

Passo 2

Formular as hipóteses (teste bilateral, pois a pergunta é se houve alteração):
H_0: \mu=\mu_0
H_1: \mu\neq\mu_0
Explicação didática: H_0 é a hipótese de que a média real é igual à média reivindicada \mu_0. H_1 diz que a média é diferente (pode ser maior ou menor). No teste bilateral dividimos o risco \alpha igualmente entre as duas caudas da distribuição do estatístico.

Passo 3

Caso o desvio padrão populacional \sigma seja conhecido — usar teste-z.
Fórmula do estatístico:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
O que cada símbolo significa:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1001,7\\ \Omega).
  • \mu_0 é a média reivindicada (valor que falta no enunciado).
  • \sigma é o desvio padrão da população (conhecido nesse caso).
  • n é o tamanho da amostra ( n=100).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; aqui \sqrt{100}=10.
Região crítica para \alpha=0,05 (teste bilateral): rejeitamos H_0 se |z|>z_{0,975}=1,96.
Aplicação prática (expressão pronta para cálculo): com os valores que temos,
z=\frac{1001,7-\mu_0}{\sigma/10}.
Para decidir numericamente, substitui-se \mu_0 e \sigma e verifica-se se |z|>1,96. Alternativamente calcula-se o p-valor p=2\big(1-\Phi(|z|)\big) e compara-se com \alpha.

Passo 4

Caso o desvio padrão populacional \sigma NÃO seja conhecido — usar teste-t de Student.
Fórmula do estatístico:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
O que cada símbolo significa:
  • s é o desvio padrão amostral (estimativa de \sigma); precisa ser calculado a partir dos dados individuais da amostra (não fornecido no enunciado).
  • Os outros símbolos têm o mesmo significado do passo anterior.
    Graus de liberdade: df=n-1=99.
Região crítica para \alpha=0,05 (teste bilateral): rejeitamos H_0 se |t|>t_{0,025;99}. Valor aproximado tabelado é t_{0,025;99}\approx 1,984.
Expressão pronta para cálculo:
t=\frac{1001,7-\mu_0}{s/10}.
Novamente, para decidir numericamente, substitui-se \mu_0 e s e verifica-se se |t|>1,984 (ou calcula-se o p-valor com a distribuição t_{99}).

Passo 5

Exemplos ilustrativos para entender a sensibilidade (cada exemplo é hipotético — estou escolhendo \mu_0=1000\\ \Omega só para ilustrar; o enunciado original deve fornecer \mu_0):
  • Se \mu_0=1000\\ \Omega e \sigma=5\\ \Omega (conhecido), então
z=\frac{1001,7-1000}{5/10}=\frac{1,7}{0,5}=3,4,
que satisfaz |z|>1,96, logo rejeitaríamos H_0 e concluiríamos que houve alteração com \alpha=0,05.
  • Se \mu_0=1000\\ \Omega e \sigma=10\\ \Omega, então
z=\frac{1,7}{10/10}=\frac{1,7}{1}=1,7,
que satisfaz |z|<1,96, logo não rejeitaríamos H_0 — isto é, não haveria evidência suficiente de alteração ao nível de 5\%.
Esses dois exemplos mostram que a conclusão depende fortemente do valor de \sigma (ou de s) e do \mu_0 que está sendo testado.

Passo 6

Conclusão prática e o que falta:
  • Procedimento completo: formular H_0 e H_1 (teste bilateral), escolher o teste (z se \sigma conhecido; t se \sigma desconhecido e usar s), calcular o estatístico pelas fórmulas dadas, comparar com o crítico ( 1,96 para z ou t_{0,025;99}\approx1,984 para t) ou obter p-valor, e decidir (rejeitar H_0 se a estatística estiver na região crítica ou se p<0,05).
  • Informação que falta para responder numericamente à pergunta do enunciado: o valor da média reivindicada \mu_0 e o desvio padrão populacional \sigma ou, se \sigma não for conhecido, o desvio padrão amostral s. Sem esses valores não é possível dar a resposta numérica final.

Resposta

Não é possível concluir numericamente: falta informação sobre a média reivindicada \mu_0 e/ou sobre o desvio padrão (populacional \sigma ou amostral s); com esses valores aplica-se o procedimento explicado acima para decidir ao nível de 5\%.

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