Suponha que a média calculada para os 100 resistores do problema anterior da amostra seja
. Estes dados são significativos para afirmar que houve alteração na resistência média deste fabricante? Justifique sua conclusão baseando-a em uma significância de 5%.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
(tamanho da amostra),
(média amostral) e nível de significância
. A pergunta é: “estes dados são significativos para afirmar que houve alteração na resistência média deste fabricante?” — ou seja, é um teste para detectar alteração na média (teste bilateral).
Informações que NÃO foram fornecidas no enunciado que são necessárias para calcular a decisão numérica do teste:
- o valor da média reivindicada pelo fabricante (vou chamar de
); e - o desvio padrão populacional
OU o desvio padrão amostral .
Sem saber
e pelo menos um dos desvios (
ou
) não dá para calcular o estatístico numérico e, portanto, não dá para decidir numericamente se rejeitamos ou não
. A resolução a seguir explica passo a passo exatamente o que fazer assim que essas quantidades estiverem conhecidas.
Passo 2
Formular as hipóteses (teste bilateral, pois a pergunta é se houve alteração):
Explicação didática:
é a hipótese de que a média real é igual à média reivindicada
.
diz que a média é diferente (pode ser maior ou menor). No teste bilateral dividimos o risco
igualmente entre as duas caudas da distribuição do estatístico.
Passo 3
Caso o desvio padrão populacional
seja conhecido — usar teste-z.
Fórmula do estatístico:
O que cada símbolo significa:
-
é a média amostral (aqui ). -
é a média reivindicada (valor que falta no enunciado). -
é o desvio padrão da população (conhecido nesse caso). -
é o tamanho da amostra ( ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; aqui .
Região crítica para
(teste bilateral): rejeitamos
se
.
Aplicação prática (expressão pronta para cálculo): com os valores que temos,
Para decidir numericamente, substitui-se
e
e verifica-se se
. Alternativamente calcula-se o p-valor
e compara-se com
.
Passo 4
Caso o desvio padrão populacional
NÃO seja conhecido — usar teste-t de Student.
Fórmula do estatístico:
O que cada símbolo significa:
-
é o desvio padrão amostral (estimativa de ); precisa ser calculado a partir dos dados individuais da amostra (não fornecido no enunciado). - Os outros símbolos têm o mesmo significado do passo anterior.
Graus de liberdade:.
Região crítica para
(teste bilateral): rejeitamos
se
. Valor aproximado tabelado é
.
Expressão pronta para cálculo:
Novamente, para decidir numericamente, substitui-se
e
e verifica-se se
(ou calcula-se o p-valor com a distribuição
).
Passo 5
Exemplos ilustrativos para entender a sensibilidade (cada exemplo é hipotético — estou escolhendo
só para ilustrar; o enunciado original deve fornecer
):
- Se
e (conhecido), então
que satisfaz
, logo rejeitaríamos
e concluiríamos que houve alteração com
.
- Se
e , então
que satisfaz
, logo não rejeitaríamos
— isto é, não haveria evidência suficiente de alteração ao nível de
.
Esses dois exemplos mostram que a conclusão depende fortemente do valor de
(ou de
) e do
que está sendo testado.
Passo 6
Conclusão prática e o que falta:
- Procedimento completo: formular
e (teste bilateral), escolher o teste (z se conhecido; t se desconhecido e usar ), calcular o estatístico pelas fórmulas dadas, comparar com o crítico ( para z ou para t) ou obter p-valor, e decidir (rejeitar se a estatística estiver na região crítica ou se ). - Informação que falta para responder numericamente à pergunta do enunciado: o valor da média reivindicada
e o desvio padrão populacional ou, se não for conhecido, o desvio padrão amostral . Sem esses valores não é possível dar a resposta numérica final.
Resposta
Não é possível concluir numericamente: falta informação sobre a média reivindicada
e/ou sobre o desvio padrão (populacional
ou amostral
); com esses valores aplica-se o procedimento explicado acima para decidir ao nível de
.