Um engenheiro que possui 1200 m de cerca, quer cercar uma área retangular e então dividi-la ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Qual é a maior área possível para a região que ele deseja cercar e quais as dimensões dessa região?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um engenheiro com 1200 metros de cerca que quer formar um retângulo e ainda dividir esse retângulo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior área possível que ele pode cercar e quais seriam as dimensões desse retângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, basicamente tentando encontrar o melhor jeito de usar a cerca para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de $ l $ e a largura de $ w $. Agora, vamos pensar em quanto de cerca será usado.
Passo 3
O retângulo tem dois lados de comprimento $ l $ e dois lados de largura $ w $. Além disso, ele quer dividir o retângulo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados, o que significa que vamos adicionar mais uma cerca de comprimento $ l $. Portanto, o total de cerca usada é:
Passo 4
Agora, vamos expressar uma variável em termos da outra para simplificar. Vou isolar $ w $ na equação acima:
Passo 5
Agora que temos $ w $ em função de $ l $, vamos pensar na área do retângulo, que é $ A = l \times w $. Substituindo $ w $ na expressão da área:
Passo 6
Para encontrar a maior área possível, precisamos maximizar a função $ A(l) = 600l - 1.5l^2 $. Essa é uma função quadrática que abre para baixo, então o ponto de máximo está no vértice da parábola.
Passo 7
A fórmula para encontrar o valor de $ l $ no vértice de uma parábola $ A(l) = al^2 + bl + c $ é:
No nosso caso, $ a = -1.5 $ e $ b = 600 $, então:
Passo 8
Agora que temos $ l = 200 $ metros, vamos encontrar $ w $ usando a equação que encontramos no Passo 4:
Resposta
A maior área possível é de 60.000 metros quadrados, com dimensões de 200 metros de comprimento e 300 metros de largura.