A série de potências de x que representa a função f(x)=sen^2 x é:
a) sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n x^n(2 n)! b) sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n-1 x^2 nn! c) sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n x^2 n+1(2 n+1)! d) sumn=1^infty (-1)^n-1 2^2 n-1 x^2 n(2 n)! e) sumn=0^infty (-1)^n x^4 n+1(2 n)!(2 n+1)!
f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a série de potências que representa a função $ f(x) = \sin^{2}x $. A matéria aqui é sobre séries de potências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e expandir a função em série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que pode simplificar $ \sin^{2}x $. Sabemos que:
sin^2x
Isso vai ajudar a facilitar a expansão em série.

Passo 3

Agora, precisamos expandir $ \cos(2x) $ em série de potências. A série de Taylor para $ \cos(x) $ é:
cos(2x)
Substituindo $ x $ por $ 2x $, temos:
cos(x)

Passo 4

Voltando à expressão de $ \sin^{2}x $, substituímos a série que encontramos:
sin^2x
Simplificando:
sin^2x = 1 - cos(2x)2 = 12 - 12sumn=0^infty (-1)^n2^2nx^2n(2n)!

Resposta

A série de potências que representa $ f(x) = \sin^{2}x $ é a opção b):
f(x) = sin^2x

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