Uma rampa de 10 metros de comprimento liga dois pisos com desnível de 2 metros.
a) Qual o ângulo de inclinação da rampa?
b) Qual o comprimento horizontal da rampa?
c) Qual é a tangente do ângulo de inclinação?

Passo 1

O enunciado dá uma rampa que forma um triângulo retângulo com:
  • comprimento da rampa (hipotenusa): \,h=10\\ \text{m}\, (dado).
  • desnível (cateto oposto ao ângulo de inclinação): \,o=2\\ \text{m}\, (dado).
O que é pedido:
(a) o ângulo de inclinação da rampa \theta (o ângulo entre a rampa e a horizontal);
(b) o comprimento horizontal da rampa (cateto adjacente a);
(c) a tangente do ângulo de inclinação \tan\theta.

Passo 2

Entendendo a figura e as definições trigonométricas básicas:
  • Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado (a rampa, \,h).
  • O cateto oposto ao ângulo \theta é o desnível \,o.
  • O cateto adjacente ao ângulo \theta é o comprimento horizontal \,a que queremos encontrar.
    As relações trigonométricas que vamos usar:
\sin\theta=\frac{o}{h},\qquad \cos\theta=\frac{a}{h},\qquad \tan\theta=\frac{o}{a}.
Também usaremos o teorema de Pitágoras para relacionar os lados:
h^{2}=o^{2}+a^{2}.

Passo 3

Calcular o comprimento horizontal a pelo teorema de Pitágoras.
a=\sqrt{h^{2}-o^{2}}=\sqrt{10^{2}-2^{2}}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}.
Valor numérico aproximado:
4\sqrt{6}\approx 9,79795897\\ \text{m}\approx 9,80\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o ângulo de inclinação \theta usando seno (é direto porque temos o e h):
\sin\theta=\frac{o}{h}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=0{,}2.
Logo
\theta=\arcsin\!\left(\frac{1}{5}\right).
Valor numérico aproximado (em graus):
\theta\approx 11{,}537^\circ\approx 11{,}54^\circ.
Se for necessário em radianos:
\theta\approx 0{,}20136\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcular a tangente \tan\theta. Podemos usar a definição direta \tan\theta=\dfrac{o}{a} com o a exato que achamos:
\tan\theta=\frac{o}{a}=\frac{2}{\sqrt{96}}=\frac{2}{4\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{2\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}.
Valor numérico aproximado:
\tan\theta=\frac{\sqrt{6}}{12}\approx 0{,}204124\approx 0{,}20412.

Passo 6

Resumo didático rápido para aplicar na prova:
  • Identifique os lados do triângulo retângulo: hipotenusa h, cateto oposto o, cateto adjacente a.
  • Use Pitágoras para obter o cateto desconhecido: a=\sqrt{h^{2}-o^{2}}.
  • Use funções trigonométricas para o ângulo: por exemplo \theta=\arcsin(o/h) ou \theta=\arctan(o/a).
  • Para a tangente, prefira a razão direta \tan\theta=o/a; se possível simplifique e racionalize para uma forma exata.

Resposta

(a) \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{5}\right)\approx 11{,}54^\circ
(b) a=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\approx 9{,}80\\ \text{m}
(c) \tan\theta=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{12}\approx 0{,}20412

Exercícios relacionados