Um engenheiro precisa calcular o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 10 m , raio interior 2 m e espessura 0,02 m. Sendo V(r)=pi r^2 h a função que descreve este volume, determine o erro De<a V-d V decorrente da utilização de diferenciais.
Observação: A resposta deve contar 5 casas decimais.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado dá a função de volume de um cilindro de raio r e altura h como
V(r)=pi r^2h
e pede o erro De<a V - dV ao aproximar a variação real De<a V pela diferencial dV. Aqui h=10,m, o raio inicial é r=2,m e a espessura (pequena variação do raio) é De<a r=dr=0,02,m.

Passo 2

Calcular a variação real de volume
De<a V = V(r+dr)-V(r) = pi,hl((r+dr)^2-r^2r) = 2pi r h,dr + pi h,(dr)^2

Passo 3

Calcular a diferencial de V
dV = V'(r),dr = l(2pi r hr),dr

Passo 4

Obter o erro da aproximação
De<a V - dV = l(2pi r h,dr + pi h,(dr)^2r) - 2pi r h,dr = pi h,(dr)^2

Passo 5

Substituindo h=10,m e dr=0,02,m
De<a V - dV = pi times 10 times (0,02)^2 = 0,004pi approx 0,01256637ldots
Arredondando para cinco casas decimais fica
0,01257 m^3

Resposta

0,01257 m³

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