\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}(\operatorname{sen} x+\cos y) d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla
O conteúdo aqui é sobre integração imprópria e uso do teorema de Fubini/Tonelli para examinar convergência.
Passo 2
Pela linearidade, podemos escrever
Se fosse possível usar o teorema de Fubini, cada termo se separaria em produto de integrais unidimensionais.
Passo 3
Estudamos primeiro
Uma primitiva de
é
, logo para
Como
oscila entre
e
quando
, o limite
não existe. Portanto essa integral imprópria não converge.
Passo 4
Agora olhamos
Uma primitiva de
é
, logo
Mas
também não tem limite quando
. Logo essa integral tampouco converge.
Passo 5
Como nenhum dos integrais internos
nem
converge, não há como aplicar Fubini para separar nem obter valor finito. Concluímos que a integral dupla diverge.
Resposta
A integral diverge.