\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}(\operatorname{sen} x+\cos y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla
integral0^inftyintegral0^inftyl(sin x + cos yr),dx,dy
O conteúdo aqui é sobre integração imprópria e uso do teorema de Fubini/Tonelli para examinar convergência.

Passo 2

Pela linearidade, podemos escrever
integral0^inftyintegral0^inftysin x,dx,dy ;+;integral0^inftyintegral0^inftycos y,dx,dy
Se fosse possível usar o teorema de Fubini, cada termo se separaria em produto de integrais unidimensionais.

Passo 3

Estudamos primeiro
integral0^inftysin x,dx
Uma primitiva de sin x é -cos x, logo para b>0
integral0^bsin x,dx = l[-cos xr]0^b = 1-cos b
Como cos b oscila entre -1 e 1 quando btoinfty, o limite
limbtoinfty(1-cos b) não existe. Portanto essa integral imprópria não converge.

Passo 4

Agora olhamos
integral0^inftycos y,dy
Uma primitiva de cos y é sin y, logo
integral0^bcos y,dy = l[sin yr]0^b = sin b
Mas sin b também não tem limite quando btoinfty. Logo essa integral tampouco converge.

Passo 5

Como nenhum dos integrais internos integral0^inftysin x,dx nem integral0^inftycos y,dy converge, não há como aplicar Fubini para separar nem obter valor finito. Concluímos que a integral dupla diverge.

Resposta

A integral diverge.

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