Para as funções pede-se:
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=\left(x{2}-1\right){3}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x) = l(x^2 - 1r)^3,
os itens I (domínio e imagem), IV (pontos de inflexão) e V (assíntotas). Vamos usar:
  • Para o domínio, a ideia de onde a função está definida.
  • Para a imagem, analisar o valor mínimo e comportamento para xtopminfty.
  • Para os pontos de inflexão, calcular f''(x), achar as raízes e verificar mudança de concavidade.
  • Para assíntotas, saber que polinômios não têm assíntotas verticais nem oblíquas ou horizontais.

Passo 2

Domínio: como f é um polinômio (na verdade um composto de polinômio), ela está definida para todo xinR. Logo
Dom(f)=R
Imagem: note que u=x^2-1 varia em [-1,infty). Como f(x)=u^3 e a função cúbica é estritamente crescente,
uin[-1,infty)Longrightarrow u^3in[-1,infty)
Portanto
Im(f)=[-1,infty)

Passo 3

Calculamos derivadas para obter a concavidade. Primeiro
f'(x) =3l(x^2-1r)^2cdot 2x =6x,(x^2-1)^2
Depois
f''(x) =ddxl[6x,(x^2-1)^2r] =6,(x^2-1)^2 +6xcdot 2,(x^2-1)cdot 2x =6,(x^2-1),(5x^2-1)

Passo 4

Para achar os pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
6,(x^2-1),(5x^2-1)=0 Longrightarrow x^2=1 ou x^2=tfrac15
Logo x=pm1 ou x=pm1raiz5. Testando a concavidade nos intervalos, verifica-se mudança de sinal em cada uma dessas raízes, caracterizando inflexão. Os valores de f nesses pontos são:
f(pm1)=0, f!l(pmtfrac1raiz5r) =l(tfrac15-1r)^3 =l(-tfrac45r)^3 =-tfrac64125
Logo há quatro pontos de inflexão:
l(pm1,0r) e l(pmtfrac1raiz5,-tfrac64125r).

Passo 5

Assíntotas: polinômios de qualquer grau são definidos para todo R e crescem sem limite, não tendo retas que sejam assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas. Assim,
não há assíntotas ãáí

Resposta

I. Domínio: R. Imagem: [-1,infty).
IV. Pontos de inflexão em
l(1,0r), l(-1,0r),
l(tfrac1raiz5,-tfrac64125r) e
l(-tfrac1raiz5,-tfrac64125r).
V. Não há assíntotas.

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