Para as funções pede-se:
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=\left(x{2}-1\right){3}
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=\left(x{2}-1\right){3}
Passo 1
O enunciado pede, para a função
os itens I (domínio e imagem), IV (pontos de inflexão) e V (assíntotas). Vamos usar:
- Para o domínio, a ideia de onde a função está definida.
- Para a imagem, analisar o valor mínimo e comportamento para
. - Para os pontos de inflexão, calcular
, achar as raízes e verificar mudança de concavidade. - Para assíntotas, saber que polinômios não têm assíntotas verticais nem oblíquas ou horizontais.
Passo 2
Domínio: como
é um polinômio (na verdade um composto de polinômio), ela está definida para todo
. Logo
Imagem: note que
varia em
. Como
e a função cúbica é estritamente crescente,
Portanto
Passo 3
Calculamos derivadas para obter a concavidade. Primeiro
Depois
Passo 4
Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Logo
ou
. Testando a concavidade nos intervalos, verifica-se mudança de sinal em cada uma dessas raízes, caracterizando inflexão. Os valores de
nesses pontos são:
Logo há quatro pontos de inflexão:
e
.
Passo 5
Assíntotas: polinômios de qualquer grau são definidos para todo
e crescem sem limite, não tendo retas que sejam assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas. Assim,
Resposta
I. Domínio:
. Imagem:
.
IV. Pontos de inflexão em
,
,
e
.
V. Não há assíntotas.
IV. Pontos de inflexão em
V. Não há assíntotas.