Para as funções pede-se:
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=\frac{x^{2}}{(x-1)}, \quad x \neq 1

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio e a imagem (parte I), os pontos de inflexão (parte IV) e as assíntotas (parte V) da função
f(x)=x^2x-1, xneq1
Para isso vamos usar: análise do denominador para o domínio, resolução de y=x^2/(x-1) para a imagem, cálculo de f''(x) para inflexão, e limites em xtopminfty e xto1 para as assíntotas.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
Para a imagem, escrevemos
O discriminante é
que exige , ou seja ou . Verifica-se que (em ) e (em ) são atingidos. Então

Passo 3

Para inflexão, calculamos
e em seguida
Não há solução de em , e não está no domínio, logo não existem pontos de inflexão.

Passo 4

Para as assíntotas:
— Vertical em x=1, pois limxto1f(x)=pminfty.
— Oblíqua: dividindo polinômios,
x^2x-1=x+1+1x-1,
de modo que limxtopminfty[f(x)-(x+1)]=0. A assíntota oblíqua é
y = x+1
Não há assíntota horizontal.

Resposta

I. Domínio: Rsetminus1. Imagem: (-infty,0]cup[4,infty).
IV. Não possui pontos de inflexão.
V. Assíntotas: vertical em x=1; oblíqua em y=x+1.

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