Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a
da massa medida em um sistema em movimento?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a
da massa medida em um sistema em movimento?”\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas no enunciado): \n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas no enunciado): \n
- A razão entre a massa medida no sistema em repouso e a massa medida no sistema em movimento é
. Ou seja, . \n - Queremos encontrar a velocidade relativa
entre os dois sistemas, expressa em função da velocidade da luz . \n
Observação: aqui eu tomo que “massa medida em um sistema em repouso” é a massa no referencial em que o objeto está em repouso (a massa própria/invariante) e que “massa medida em um sistema em movimento” refere-se à massa observada quando o objeto está se movendo com velocidade(massa relativística). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos escrever a relação entre massa relativística e massa em repouso (a fórmula que relaciona as duas). Definimos: \n
-
= massa medida no referencial onde o objeto está em repouso (massa própria). \n -
= massa medida por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade (massa relativística). \n
A fórmula usada é:
onde
é o fator de Lorentz (aumenta a massa relativística em relação à massa própria). Vou explicar o que é
no próximo passo.
Passo 3
O fator de Lorentz
é definido por:
Explicando as partes: \n
-
é a velocidade relativa entre observador e objeto. \n -
é a velocidade da luz. \n - O denominador
é chamado de raiz relativística; quando aumenta, essa raiz diminui e cresce. \n
Portanto a massa relativística cresce comsegundo .
Passo 4
Agora usemos a informação do enunciado na forma de equação. O enunciado diz que a massa medida em repouso é
da massa medida em movimento. Em símbolos:
Substituindo
na equação acima, obtemos:
Passo 5
Simplificamos a equação do passo anterior. Como
aparece dos dois lados e é diferente de zero, podemos cancelar
. Isso dá:
Isolando
obtemos:
Interpretação física rápida: o fator de Lorentz necessário para que a massa relativística seja
vezes a massa própria é exatamente
.
Passo 6
Agora resolvemos para
a partir de
. Partimos de:
Invertemos ambos os lados:
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Passo 7
Substituímos
em
. Primeiro calcule
:
Então
Calculando a diferença:
Logo
Passo 8
Tiramos a raiz quadrada dos dois lados para obter
:
Tomamos o sinal positivo porque
é uma velocidade escalar de módulo (não precisamos do sentido aqui). Em forma decimal isso é
.
Passo 9
Checagem rápida (pra você se sentir seguro): com
temos
, então
e
. Assim
e portanto
, que é exatamente o pedido. Beleza — bate certinho.