Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a 4 / 5 da massa medida em um sistema em movimento?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em movimento e o sistema relativístico para que a massa medida em um sistema em repouso seja a \tfrac{4}{5} da massa medida em um sistema em movimento?”\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas no enunciado): \n
  • A razão entre a massa medida no sistema em repouso e a massa medida no sistema em movimento é \dfrac{4}{5}. Ou seja, \dfrac{m_{\text{repouso}}}{m_{\text{mov}}}=\dfrac{4}{5}. \n
  • Queremos encontrar a velocidade relativa v entre os dois sistemas, expressa em função da velocidade da luz c. \n
    Observação: aqui eu tomo que “massa medida em um sistema em repouso” é a massa no referencial em que o objeto está em repouso (a massa própria/invariante) e que “massa medida em um sistema em movimento” refere-se à massa observada quando o objeto está se movendo com velocidade v (massa relativística). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos escrever a relação entre massa relativística e massa em repouso (a fórmula que relaciona as duas). Definimos: \n
  • m_0 = massa medida no referencial onde o objeto está em repouso (massa própria). \n
  • m = massa medida por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade v (massa relativística). \n
A fórmula usada é: m=\gamma\,m_{0}
onde \gamma é o fator de Lorentz (aumenta a massa relativística em relação à massa própria). Vou explicar o que é \gamma no próximo passo.

Passo 3

O fator de Lorentz \gamma é definido por: \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando as partes: \n
  • v é a velocidade relativa entre observador e objeto. \n
  • c é a velocidade da luz. \n
  • O denominador \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} é chamado de raiz relativística; quando v aumenta, essa raiz diminui e \gamma cresce. \n
    Portanto a massa relativística cresce com v segundo m=\gamma m_{0}.

Passo 4

Agora usemos a informação do enunciado na forma de equação. O enunciado diz que a massa medida em repouso é \tfrac{4}{5} da massa medida em movimento. Em símbolos: m_{0}=\frac{4}{5}\,m.
Substituindo m=\gamma m_{0} na equação acima, obtemos: m_{0}=\frac{4}{5}\,\bigl(\gamma m_{0}\bigr).

Passo 5

Simplificamos a equação do passo anterior. Como m_{0} aparece dos dois lados e é diferente de zero, podemos cancelar m_{0}. Isso dá: 1=\frac{4}{5}\,\gamma.
Isolando \gamma obtemos: \gamma=\frac{5}{4}=1{,}25.
Interpretação física rápida: o fator de Lorentz necessário para que a massa relativística seja \tfrac{5}{4} vezes a massa própria é exatamente \gamma=1{,}25.

Passo 6

Agora resolvemos para v a partir de \gamma. Partimos de: \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Invertemos ambos os lados: \frac{1}{\gamma}=\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Elevando ao quadrado: \frac{1}{\gamma^{2}}=1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}.
Isolando \dfrac{v^{2}}{c^{2}}: \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{\gamma^{2}}.

Passo 7

Substituímos \gamma=\dfrac{5}{4} em \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}. Primeiro calcule \gamma^{2}: \gamma^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}.
Então \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{25/16}=1-\frac{16}{25}.
Calculando a diferença: 1-\frac{16}{25}=\frac{25}{25}-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}.
Logo \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{9}{25}.

Passo 8

Tiramos a raiz quadrada dos dois lados para obter v/c: \frac{v}{c}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.
Tomamos o sinal positivo porque v é uma velocidade escalar de módulo (não precisamos do sentido aqui). Em forma decimal isso é v=0{,}6\,c.

Passo 9

Checagem rápida (pra você se sentir seguro): com v=0{,}6c temos \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=0{,}36, então \sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8 e \gamma=1/0{,}8=1{,}25. Assim m=\gamma m_{0}=1{,}25\,m_{0} e portanto m_{0}=\tfrac{4}{5}\,m, que é exatamente o pedido. Beleza — bate certinho.

Resposta

\displaystyle v=\frac{3}{5}\,c (ou v=0{,}6\,c)

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