1. Determine os valores máximos e mínimos absolutos e locais da função f(x)=2 sen x+cos (2 x), no intervalo onde |x| <= pi.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos e locais de
f(x)=2sin x+cos(2x)
no domínio |x|<=pi. Vamos usar cálculo diferencial: primeiro computar a derivada, depois achar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, em seguida classificar esses pontos com a segunda derivada e por fim comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Derivando termo a termo, temos
f'(x)=ddxl(2sin xr)+ddxl(cos(2x)r) =2cos x-2sin(2x)
Podemos reescrever
f'(x)=2cos x-4sin xcos x =2cos x,(1-2sin x)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja
2cos x,(1-2sin x)=0
Isso dá duas possibilidades:
  1. cos x=0, logo x=pmpi2.
  2. 1-2sin x=0, logo sin x=tfrac12, o que no intervalo dado ocorre em
x=pi6ou x=5pi6

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada
f''(x)=-2sin x-4cos(2x)
Calculando em cada ponto crítico:
  • Em x=pi/6 e x=5pi/6, sin x=tfrac12 e cos(2x)=tfrac12, logo
f''=-2cdottfrac12-4cdottfrac12=-1-2=-3<0,
são locais de máximo.
  • Em x=pmpi/2, temos sin(pmpi/2)=pm1 e cos(2x)=cos(pmpi)=-1, logo para ambos
f''=-2(pm1)-4(-1)=mp2+4>0,
são pontos de mínimo local.

Passo 5

Avaliamo-os em f:
fl(tfracpi6r)=2sintfracpi6+costfracpi3 =2cdottfrac12+tfrac12=tfrac32,
fl(tfrac5pi6r)=2cdottfrac12+costfrac5pi3 =1+tfrac12=tfrac32,
fl(tfracpi2r)=2cdot1+cospi=2-1=1,
fl(-tfracpi2r)=2cdot(-1)+cos(-pi)=-2-1=-3

Passo 6

Nos extremos do domínio, x=pmpi, temos sin(pmpi)=0 e cos(2pi)=1, então
f(pmpi)=0+1=1
Comparando todos os valores:
  • Maior valor é tfrac32, em x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6.
  • Menor valor é -3, em x=-tfracpi2.
    Além disso, são locais de máximo x=tfracpi6,,tfrac5pi6 e locais de mínimo x=pmtfracpi2.

Resposta

Máximo absoluto: f=tfrac32 em x=tfracpi6,tfrac5pi6
Mínimo absoluto: f=-3 em x=-tfracpi2
Máximos locais: x=tfracpi6,tfrac5pi6
Mínimos locais: x=pmtfracpi2

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