- Determine os valores máximos e mínimos absolutos e locais da função
, no intervalo onde
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos e locais de
no domínio
. Vamos usar cálculo diferencial: primeiro computar a derivada, depois achar os pontos críticos resolvendo
, em seguida classificar esses pontos com a segunda derivada e por fim comparar os valores de
nesses pontos e nos extremos do intervalo.
Passo 2
Derivando termo a termo, temos
Podemos reescrever
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
, ou seja
Isso dá duas possibilidades:
-
, logo . -
, logo , o que no intervalo dado ocorre em
Passo 4
Para classificar, usamos a segunda derivada
Calculando em cada ponto crítico:
- Em
e , e , logo
são locais de máximo.
- Em
, temos e , logo para ambos
são pontos de mínimo local.
Passo 5
Avaliamo-os em
:
Passo 6
Nos extremos do domínio,
, temos
e
, então
Comparando todos os valores:
- Maior valor é
, em e . - Menor valor é
, em .
Além disso, são locais de máximoe locais de mínimo .
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto: em
Máximos locais:
Mínimos locais:
Mínimo absoluto:
Máximos locais:
Mínimos locais: