Determine:
lim x infty ln 2 xraiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyln(2x)raiz[4]x
Aqui o numerador cresce como logaritmo e o denominador como potência de x. Vamos usar o critério de l’Hôpital, pois ao levar xtoinfty obtemos a forma indeterminada tfracinftyinfty.

Passo 2

Verificamos o comportamento das partes:
ln(2x)toinfty e raiz[4]x=x^1/4toinfty quando xtoinfty
Logo é legítimo aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(2x)r] =1x, ddxl[x^1/4r] =14x^-3/4
Pelo teorema de l’Hôpital,
limxtoinftyln(2x)x^1/4 =limxtoinftytfrac1xtfrac14x^-3/4 =limxtoinfty4,x^-1+3/4 =limxtoinfty4,x^-1/4

Passo 4

Como x^-1/4=1/x^1/4 tende a 0 quando xtoinfty, segue que
limxtoinfty4,x^-1/4=0

Resposta

0

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