Um engenheiro de produção está monitorando o peso de sacos de cimento produzidos em uma fábrica. O desvio padrão do peso dos sacos é de 2 kg . Uma amostra aleatória de 25 sacos foi coletada, e os pesos observados apresentaram uma média de 50,8 \mathrm{~kg}. Admita que o peso dos sacos segue uma distribuição normal. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média verdadeira do peso dos sacos de cimento.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma variável (peso dos sacos) que segue distribuição normal com desvio padrão populacional conhecido \sigma = 2 kg. Foi coletada uma amostra aleatória de tamanho n=25 e a média amostral obtida foi \bar x = 50{,}8 kg. Queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu.

Passo 2

Como \sigma é conhecida e a amostra é normal (ou grande o bastante), usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal-padrão. A fórmula geral é:
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que \Pr\bigl(|Z|>z_{\alpha/2}\bigr)=\alpha. Para 95\%, \alpha=0{,}05 e z_{0{,}025}=1{,}96.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0{,}4\;\text{kg}.ã

Passo 4

Calcular a margem de erro:
E = z_{0{,}025}\,\times 0{,}4 = 1{,}96 \times 0{,}4 = 0{,}784\;\text{kg}.

Passo 5

Construir o intervalo:
\bar x - E = 50{,}8 - 0{,}784 = 50{,}016,
\bar x + E = 50{,}8 + 0{,}784 = 51{,}584.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira do peso dos sacos é aproximadamente
(50{,}016\;\text{kg},\;51{,}584\;\text{kg}),
ou, arredondando, (50{,}02\;\text{kg},\,51{,}58\;\text{kg}).

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