Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados a seguir e para um nível de significância \alpha=0,05, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal 1.055 mm . Sendo assim, uma amostra de 20 hastes foi analisada e as medidas obtidas são dadas a seguir.
903,88
1.036,92
1.098,04
1.011,26
1.020,70
915,38
1.014,53
1.097,79
934,52
1.214,08
993,45
1.120,19
860,41
1.039,19
950,38
941,83
936,78
1.086,98
1.144,94
1.066,12
Qual a conclusão do engenheiro de produção? Suponha uma hipótese alternativa bilateral.
Passo 1
O enunciado pede testar, ao nível de significância \alpha=0,05 e com hipótese alternativa bilateral, se a altura média da haste é próxima do valor nominal \,1{,}055\\ \text{mm}. Dados fornecidos: amostra de n=20 hastes com as medidas (em mm) — peguei todos os valores do enunciado:
Objetivo: decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula de que a média populacional é \mu_0=1{,}055\\ \text{mm}, adotando hipótese alternativa bilateral.
Passo 2
Escrevendo as hipóteses de teste de forma clara:
H_0:\\ \mu = 1{,}055
H_a:\\ \mu \neq 1{,}055
Explicação didática: a hipótese nula (H_0) diz que a média verdadeira vale exatamente o valor nominal. A hipótese alternativa bilateral (H_a) considera desvios em ambos os sentidos (média menor ou maior que o nominal). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (n=20), usaremos o teste t de Student para a média.
Passo 3
Fórmula do estatístico t (explicando cada parte):
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}
onde:
\overline{X} é a média amostral (estimativa da média populacional),
\mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui 1{,}055),
S é o desvio-padrão amostral (estimativa da dispersão),
n é o tamanho da amostra.
O denominador S/\sqrt{n} é o erro padrão da média: ele mede quanto a média amostral costuma variar entre amostras de tamanho n.
Passo 4
Calcular a média amostral \overline{X}. Somando as 20 observações (soma obtida diretamente dos dados do enunciado) obtemos
Explicação didática: dividimos pela n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra; isso corrige o viés. A raiz dá o desvio-padrão, que tem a mesma unidade das medidas (mm).
Explicação: o t negativo indica que \overline{X} está abaixo de \mu_0. O valor absoluto |t| quantifica quantos erros-padrão a média amostral está distante do valor sob H_0.
Passo 7
Determinar o valor crítico e a regra de decisão. Para nível de significância \alpha=0{,}05 e teste bilateral, o valor crítico é
Portanto não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Cálculo do p-valor (para informação): o p-valor bilateral é 2\Pr(T_{19}>1{,}744)\approx 0{,}098 (aproximadamente 9{,}8\%), que é maior que \alpha=0{,}05, confirmando a decisão.
Passo 9
Interpretação prática e incentivo: isso significa que, com os dados desta amostra e com \alpha=0{,}05, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a altura média das hastes difere do valor nominal 1{,}055\\ \text{mm}. Em linguagem de engenheiro: a amostra é compatível com a especificação nominal — não encontramos desvio significativo. Força aí — você já fez a parte chata das contas; na prova é isso que se espera: apresentar hipóteses, estatística, comparação com o crítico e concluir.
Resposta
Não rejeita H_0. Não há evidência significativa (ao nível \alpha=0{,}05) de que a média difira de 1{,}055\\ \text{mm}.