Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados a seguir e para um nível de significância \alpha=0,05, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal 1.055 mm . Sendo assim, uma amostra de 20 hastes foi analisada e as medidas obtidas são dadas a seguir.
903,88 1.036,92 1.098,04 1.011,26 1.020,70 915,38 1.014,53
1.097,79 934,52 1.214,08 993,45 1.120,19 860,41 1.039,19 950,38
941,83 936,78 1.086,98 1.144,94 1.066,12
Qual a conclusão do engenheiro de produção? Suponha uma hipótese alternativa bilateral.

Passo 1

O enunciado pede testar, ao nível de significância \alpha=0,05 e com hipótese alternativa bilateral, se a altura média da haste é próxima do valor nominal \,1{,}055\\ \text{mm}. Dados fornecidos: amostra de n=20 hastes com as medidas (em mm) — peguei todos os valores do enunciado:
903{,}88,\\\ 1{.}036{,}92,\\\ 1{.}098{,}04,\\\ 1{.}011{,}26,\\\ 1{.}020{,}70,\\\ 915{,}38,\\\ 1{.}014{,}53,
1{.}097{,}79,\\\ 934{,}52,\\\ 1{.}214{,}08,\\\ 993{,}45,\\\ 1{.}120{,}19,\\\ 860{,}41,\\\ 1{.}039{,}19,\\\ 950{,}38,
941{,}83,\\\ 936{,}78,\\\ 1{.}086{,}98,\\\ 1{.}144{,}94,\\\ 1{.}066{,}12.
Objetivo: decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula de que a média populacional é \mu_0=1{,}055\\ \text{mm}, adotando hipótese alternativa bilateral.

Passo 2

Escrevendo as hipóteses de teste de forma clara:
H_0:\\ \mu = 1{,}055
H_a:\\ \mu \neq 1{,}055
Explicação didática: a hipótese nula ( H_0) diz que a média verdadeira vale exatamente o valor nominal. A hipótese alternativa bilateral ( H_a) considera desvios em ambos os sentidos (média menor ou maior que o nominal). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=20), usaremos o teste t de Student para a média.

Passo 3

Fórmula do estatístico t (explicando cada parte):
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}
onde:
  • \overline{X} é a média amostral (estimativa da média populacional),
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui 1{,}055),
  • S é o desvio-padrão amostral (estimativa da dispersão),
  • n é o tamanho da amostra.
    O denominador S/\sqrt{n} é o erro padrão da média: ele mede quanto a média amostral costuma variar entre amostras de tamanho n.

Passo 4

Calcular a média amostral \overline{X}. Somando as 20 observações (soma obtida diretamente dos dados do enunciado) obtemos
\sum_{i=1}^{20} x_i = 20{.}387{,}37
portanto
\overline{X}=\frac{20{.}387{,}37}{20}=1{.}019{,}3685.
Explicação: somei todas as medidas e dividi por n=20. O resultado é a média das hastes na amostra.

Passo 5

Calcular o desvio-padrão amostral S. Primeiro calculamos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:
\sum_{i=1}^{20} (x_i-\overline{X})^{2}\approx 158{.}616{,}53.
O desvio-padrão amostral é
S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^{2}} =\sqrt{\frac{158{.}616{,}53}{19}}\approx 91{,}37.
Explicação didática: dividimos pela n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra; isso corrige o viés. A raiz dá o desvio-padrão, que tem a mesma unidade das medidas (mm).

Passo 6

Calcular o estatístico t substituindo os valores:
\overline{X}-\mu_0 = 1{.}019{,}3685 - 1{.}055 = -0{,}035{,}6315.
\text{erro padrão}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{91{,}37}{\sqrt{20}}\approx \frac{91{,}37}{4{,}4721}\approx 20{,}43.ã
Logo
t=\frac{-0{,}035{,}6315}{20{,}43}\approx -1{,}744.
Explicação: o t negativo indica que \overline{X} está abaixo de \mu_0. O valor absoluto |t| quantifica quantos erros-padrão a média amostral está distante do valor sob H_0.

Passo 7

Determinar o valor crítico e a regra de decisão. Para nível de significância \alpha=0{,}05 e teste bilateral, o valor crítico é
t_{1-\alpha/2,\;n-1}=t_{0{,}975,\;19}\approx 2{,}093.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2{,}093.

Passo 8

Comparar o valor calculado com o crítico:
|t|\approx 1{,}744 < 2{,}093.
Portanto não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Cálculo do p-valor (para informação): o p-valor bilateral é 2\Pr(T_{19}>1{,}744)\approx 0{,}098 (aproximadamente 9{,}8\%), que é maior que \alpha=0{,}05, confirmando a decisão.

Passo 9

Interpretação prática e incentivo: isso significa que, com os dados desta amostra e com \alpha=0{,}05, não há evidência estatística suficiente para afirmar que a altura média das hastes difere do valor nominal 1{,}055\\ \text{mm}. Em linguagem de engenheiro: a amostra é compatível com a especificação nominal — não encontramos desvio significativo. Força aí — você já fez a parte chata das contas; na prova é isso que se espera: apresentar hipóteses, estatística, comparação com o crítico e concluir.

Resposta

Não rejeita H_0. Não há evidência significativa (ao nível \alpha=0{,}05) de que a média difira de 1{,}055\\ \text{mm}.

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