Suponha que a quantidade de grãos lançada por minuto por uma máquina semeadora é uma variável aleatória normal com desvio padrão igual a 25 . Para estimar a média
dessa variável medimos as quantidades lançadas em 20 minutos:
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
a) Com esses valores observados, qual valor poderia ser usado para estimar a média da variável?
b) O valor encontrado em a) é um estimador para μ baseado nos 20 valores observados. Muito provavelmente, o valor real de
é diferente do valor obtido em a). Baseado nos valores observados, crie um intervalo de confiança
para
.
c) O fabricante da máquina garante que a média da quantidade de sementes lançadas é igual a 1200 . Com base no intervalo construído na letra b) você diria que o fabricante está correto com 95 por cento de confiança?
1208121312371170119711661193121811881236
a) Com esses valores observados, qual valor poderia ser usado para estimar a média da variável?
b) O valor encontrado em a) é um estimador para μ baseado nos 20 valores observados. Muito provavelmente, o valor real de
c) O fabricante da máquina garante que a média da quantidade de sementes lançadas é igual a 1200 . Com base no intervalo construído na letra b) você diria que o fabricante está correto com 95 por cento de confiança?
Passo 1
O enunciado fornece que a quantidade de grãos lançada por minuto é uma variável aleatória normal com desvio padrão conhecido igual a
. Foram medidos os valores em
minutos; os
valores observados (peguei-os do enunciado) são:
As perguntas são:
a) qual valor poderia ser usado para estimar a média da variável?
b) construir um intervalo de confiança de para
usando os dados observados (com
conhecido).
c) com base no intervalo da letra b), decidir se a afirmação do fabricante é compatível com os dados ao nível de
.
a) qual valor poderia ser usado para estimar a média
b) construir um intervalo de confiança de
c) com base no intervalo da letra b), decidir se a afirmação do fabricante
Passo 2
Vamos calcular um estimador natural para
: a média amostral
. Vou lembrar a definição e explicar passo a passo.
Definição (fórmula da média amostral):
.
Aqui é o número de observações (aqui
) e
são os valores observados. A média amostral é um estimador natural para a média populacional
: intuitivamente, somamos tudo e dividimos pelo número de observações.
Aqui
Agora somamos os valores (mostro as somas parciais para você poder acompanhar):
Soma primeira linha:
Soma primeira linha:
Soma segunda linha:
Soma total:
Agora a média:
Portanto, um estimador para
é
. (Anota aí: sempre que te pedirem “um valor para estimar a média”, use a média amostral.)
Passo 3
Agora vamos construir o intervalo de confiança de
para
quando
é conhecido.
Fórmula do intervalo (caso
conhecido, distribuição normal):
Expliquei cada símbolo:
-
é a média amostral (já calculada). -
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra ( ). -
é o quantil da distribuição normal padrão; para nível de confiança temos e . Isso vem da tabela da normal padrão (aquela famosa tabela z): a probabilidade central de deixa em cada cauda, logo usamos que tem área acumulada.
Precisamos do erro padrão (standard error):
Uma forma prática de calcular
sem muita sofisticação é escrever
e lembrar
, então
. Assim
Agora o termo
(a margem de erro) é
Portanto o intervalo de confiança de
é
Substituindo
:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos o intervalo
Passo 4
Interpretação e resposta à letra c). O fabricante afirma
. Para verificar se essa afirmação é compatível com os dados ao nível de
, basta ver se
está dentro do intervalo de confiança obtido. O intervalo de
é aproximadamente
e contém
. Logo, com
de confiança os dados são compatíveis com a alegação do fabricante — não temos evidência suficiente para rejeitar a afirmação
ao nível de
.
Resposta
a)
b) Intervalo de confiança de para
:
c) Sim. está dentro do intervalo, portanto a alegação do fabricante é compatível com os dados ao nível de
.
b) Intervalo de confiança de
c) Sim.