Suponha que a quantidade de grãos lançada por minuto por uma máquina semeadora é uma variável aleatória normal com desvio padrão igual a 25 . Para estimar a média \mu dessa variável medimos as quantidades lançadas em 20 minutos:
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
a) Com esses valores observados, qual valor poderia ser usado para estimar a média da variável?
b) O valor encontrado em a) é um estimador para μ baseado nos 20 valores observados. Muito provavelmente, o valor real de \mu é diferente do valor obtido em a). Baseado nos valores observados, crie um intervalo de confiança 95 \% para \mu.
c) O fabricante da máquina garante que a média da quantidade de sementes lançadas é igual a 1200 . Com base no intervalo construído na letra b) você diria que o fabricante está correto com 95 por cento de confiança?

Passo 1

O enunciado fornece que a quantidade de grãos lançada por minuto é uma variável aleatória normal com desvio padrão conhecido igual a \sigma=25. Foram medidos os valores em 20 minutos; os 20 valores observados (peguei-os do enunciado) são:
1198,\;1159,\;1217,\;1228,\;1250,\;1189,\;1194,\;1222,\;1197,\;1206,
1208,\;1213,\;1237,\;1170,\;1197,\;1166,\;1193,\;1218,\;1188,\;1236.
As perguntas são:
a) qual valor poderia ser usado para estimar a média \mu da variável?
b) construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu usando os dados observados (com \sigma conhecido).
c) com base no intervalo da letra b), decidir se a afirmação do fabricante \mu=1200 é compatível com os dados ao nível de 95\%.

Passo 2

Vamos calcular um estimador natural para \mu: a média amostral \bar{x}. Vou lembrar a definição e explicar passo a passo.
Definição (fórmula da média amostral): \bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n é o número de observações (aqui n=20) e x_i são os valores observados. A média amostral é um estimador natural para a média populacional \mu: intuitivamente, somamos tudo e dividimos pelo número de observações.
Agora somamos os valores (mostro as somas parciais para você poder acompanhar):
Soma primeira linha:
1198+1159+1217+1228+1250+1189+1194+1222+1197+1206 = 12060.
Soma segunda linha:
1208+1213+1237+1170+1197+1166+1193+1218+1188+1236 = 12026.
Soma total:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 12060 + 12026 = 24086.
Agora a média:
\bar{x} = \dfrac{24086}{20} = 1204,3.
Portanto, um estimador para \mu é \bar{x}=1204,3. (Anota aí: sempre que te pedirem “um valor para estimar a média”, use a média amostral.)

Passo 3

Agora vamos construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu quando \sigma é conhecido.
Fórmula do intervalo (caso \sigma conhecido, distribuição normal):
\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (já calculada).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=25).
  • n é o tamanho da amostra ( n=20).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão; para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx 1,96. Isso vem da tabela da normal padrão (aquela famosa tabela z): a probabilidade central de 95\% deixa 2,5\% em cada cauda, logo usamos z que tem área 0,975 acumulada.
Precisamos do erro padrão (standard error):
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{25}{\sqrt{20}}.
Uma forma prática de calcular \sqrt{20} sem muita sofisticação é escrever \sqrt{20}=2\sqrt{5} e lembrar \sqrt{5}\approx 2,23607, então \sqrt{20}\approx 4,47214. Assim
\text{SE} \approx \frac{25}{4,47214} \approx 5,59017.
Agora o termo z\cdot\text{SE} (a margem de erro) é
1,96 \times 5,59017 \approx 10,9567.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
\bar{x} \pm 10,9567.
Substituindo \bar{x}=1204,3:
\text{limite inferior} = 1204,3 - 10,9567 \approx 1193,3433,
\text{limite superior} = 1204,3 + 10,9567 \approx 1215,2567.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos o intervalo
[1193,34,\;1215,26].

Passo 4

Interpretação e resposta à letra c). O fabricante afirma \mu=1200. Para verificar se essa afirmação é compatível com os dados ao nível de 95\%, basta ver se 1200 está dentro do intervalo de confiança obtido. O intervalo de 95\% é aproximadamente [1193,34,\;1215,26] e contém 1200. Logo, com 95\% de confiança os dados são compatíveis com a alegação do fabricante — não temos evidência suficiente para rejeitar a afirmação \mu=1200 ao nível de 95\%.

Resposta

a) \bar{x}=1204,3
b) Intervalo de confiança de 95\% para \mu: [1193,34,\;1215,26]
c) Sim. 1200 está dentro do intervalo, portanto a alegação do fabricante é compatível com os dados ao nível de 95\%.

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