Sejam X_{1}, \cdots, X_{16} uma A.A.S. extraída de uma população N(0,1). Se \bar{X} é a média amostral e S^{2} a variância amostral, calcular:
P\left(\frac{\bar{X}}{S} \geqslant 0,53275\right)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Uma amostra aleatória simples de tamanho n=16: X_{1},\ldots,X_{16}.
  • A população é normal padrão: N(0,1). Então a média populacional é 0 e a variância populacional é 1.
  • A média amostral é \bar{X}.
  • A variância amostral é S^{2} (portanto S é o desvio-padrão amostral).
    A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(\frac{\bar{X}}{S} \geqslant 0,53275\right).

Passo 2

Vamos lembrar regras e resultados fundamentais (explico cada peça devagarinho):
  • Para uma amostra de uma normal N(\mu,\sigma^{2}) de tamanho n, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Aqui \mu=0 e \sigma^{2}=1, então
\bar{X}\sim N\!\left(0,\frac{1}{n}\right).
Isso significa que a média tem variância \tfrac{1}{n} e desvio-padrão \tfrac{1}{\sqrt{n}}.
  • A variância amostral S^{2} (com divisor n-1) satisfaz
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}_{\,n-1}.
No nosso caso \sigma^{2}=1, logo (n-1)S^{2}\sim\chi^{2}_{\,n-1}.
  • Um fato crucial: para amostras de uma normal, \bar{X} e S^{2} são independentes.
  • Com essas peças, definimos a estatística t clássica:
T \;=\; \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{\,n-1}.
Aqui \mu=0, então
T \;=\; \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t_{\,n-1}.
Expliquei o que cada símbolo significa: T é a razão da média centrada pela estimativa do erro padrão; t_{\,n-1} é a t-Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Vamos relacionar a quantidade pedida com T. Observe a manipulação algébrica:
\frac{\bar{X}}{S} = \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{T}{\sqrt{n}}.
Portanto a probabilidade pedida vira
P\!\left(\frac{\bar{X}}{S} \geqslant 0,53275\right) = P\!\left(\frac{T}{\sqrt{n}} \geqslant 0,53275\right) = P\!\left(T \geqslant 0,53275\sqrt{n}\right),
onde T\sim t_{\,n-1}.

Passo 4

Substituímos n=16 (logo \sqrt{n}=4) e calculamos o limiar numérico:
0,53275\sqrt{16}=0,53275\times 4 = 2,131.
Então precisamos de
P\!\left(T \geqslant 2,131\right)\quad\text{com}\quad T\sim t_{15}.

Passo 5

Agora avaliamos a cauda da t-Student com 15 graus de liberdade. Em tabelas de t (ou em conhecimento padrão), o valor crítico para nível unilateral 0,025 é aproximadamente t_{0,025,\,15}\approx 2,131. Isso significa que
P\!\left(T \geqslant 2,131\right)\approx 0,025.
Intuição rápida: o valor 2,131 é exatamente o ponto onde a cauda superior da t_{15} tem probabilidade 0,025 (é o mesmo que o ponto crítico para teste bilateral de nível 5\%).

Passo 6

Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0,025. Isso é pequeno — quer dizer que um valor tão grande de \bar{X}/S é raro quando a média verdadeira é zero.

Resposta

0,025

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