Sejam
uma A.A.S. extraída de uma população
. Se
é a média amostral e
a variância amostral, calcular:
Passo 1
O enunciado fornece:
- Uma amostra aleatória simples de tamanho
: . - A população é normal padrão:
. Então a média populacional é e a variância populacional é . - A média amostral é
. - A variância amostral é
(portanto é o desvio-padrão amostral).
A pergunta é calcular a probabilidade
Passo 2
Vamos lembrar regras e resultados fundamentais (explico cada peça devagarinho):
- Para uma amostra de uma normal
de tamanho , a média amostral tem distribuição normal com média e variância . Aqui e , então
Isso significa que a média tem variância
e desvio-padrão
.
- A variância amostral
(com divisor ) satisfaz
No nosso caso
, logo
.
- Um fato crucial: para amostras de uma normal,
e são independentes. - Com essas peças, definimos a estatística
clássica:
Aqui
, então
Expliquei o que cada símbolo significa:
é a razão da média centrada pela estimativa do erro padrão;
é a t-Student com
graus de liberdade.
Passo 3
Vamos relacionar a quantidade pedida com
. Observe a manipulação algébrica:
Portanto a probabilidade pedida vira
onde
.
Passo 4
Substituímos
(logo
) e calculamos o limiar numérico:
Então precisamos de
Passo 5
Agora avaliamos a cauda da t-Student com
graus de liberdade. Em tabelas de
(ou em conhecimento padrão), o valor crítico para nível unilateral
é aproximadamente
. Isso significa que
Intuição rápida: o valor
é exatamente o ponto onde a cauda superior da
tem probabilidade
(é o mesmo que o ponto crítico para teste bilateral de nível
).
Passo 6
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
. Isso é pequeno — quer dizer que um valor tão grande de
é raro quando a média verdadeira é zero.