Um engenheiro projeta construir um arco metálico na entrada de uma ponte com 10 metros de largura e 4 metros de altura máxima no centro.
Para isso, ele modela a forma do arco com uma parábola, onde a altura máxima ocorre no ponto (0,4) e as extremidades da base estão em (-5,0) e (5,0).
(A) Determine a equação da parábola que modela o arco metálico.
(B) Encontre a altura do arco em um ponto que se encontra a 2 metros do centro.

Passo 1

O enunciado pede para modelar um arco metálico de largura total 10 m e altura máxima 4 m no centro por uma parábola com vértice em (0,4) e raízes em (-5,0) e (5,0). O conteúdo aqui é o uso da forma canônica de uma parábola vertical,
y = a x^2 + k,
onde (0,k) é o vértice. Vamos ajustar a para que ela passe pelas extremidades da base.

Passo 2

Como o vértice é (0,4), temos k=4 e
y = a x^2 + 4
Para determinar a, usamos o ponto (5,0):
0 = acdot 5^2 + 4
0 = 25a + 4
a = -tfrac425
Logo a equação da parábola é
y = -tfrac425x^2 + 4

Passo 3

Para encontrar a altura a 2 m do centro, basta calcular y(2). Substituindo x=2 na equação:
y(2) = -tfrac425cdot 2^2 + 4
y(2) = -tfrac1625 + 4 = tfrac8425 = 3,36

Resposta

(A) y = -tfrac425x^2 + 4.
(B) A altura a 2 m do centro é 3,36 metros.

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