Um engenheiro está projetando um recipiente cônico, onde a base tem raio r0=6 metros e a altura é h=12 metros. O perfil do recipiente é dado pela função linear r(x)=r0h x, com x variando de 0 até h. Calcule o volume do recipiente gerado pela rotação dessa função ao redor do eixo x.
V=pi integral0^12(612 x)^2 d x

Passo 1

Temos um recipiente cônico de raio na base r0=6 m e altura h=12 m. O perfil do cone é dado pela função linear r(x)=r0hx para 0<= x<= 12. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos, utilizando a fórmula do volume:
V=piintegral0^hl(r(x)r)^2,dx ,
onde precisaremos substituir r(x).

Passo 2

Substituindo os valores r0=6 e h=12 em r(x)=r0hx, obtemos
r(x)=612x=x2
Logo o integrando fica
l(r(x)r)^2=l(tfracx2r)^2=x^24,
e a integral do volume é
V=piintegral0^12x^24,dx

Passo 3

Fatorando a constante 1/4 para fora da integral e aplicando a regra de potência, temos
V=pi4integral0^12x^2,dx =pi4l[x^33r]0^12

Passo 4

Agora vamos avaliar em x=12 e x=0:
V=pi4l(12^33-0r) =pi4cdot17283 =pi4cdot576 =144pi
Portanto, o volume do recipiente é dado por 144pi metros cúbicos.

Resposta

144pi m^3

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