Um engenheiro está projetando um recipiente cônico, onde a base tem raio
metros e a altura é
metros. O perfil do recipiente é dado pela função linear
, com
variando de 0 até
. Calcule o volume do recipiente gerado pela rotação dessa função ao redor do eixo
.
Passo 1
Temos um recipiente cônico de raio na base
e altura
. O perfil do cone é dado pela função linear
para
. O conteúdo aqui é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos discos, utilizando a fórmula do volume:
onde precisaremos substituir
.
Passo 2
Substituindo os valores
e
em
, obtemos
Logo o integrando fica
e a integral do volume é
Passo 3
Fatorando a constante
para fora da integral e aplicando a regra de potência, temos
Passo 4
Agora vamos avaliar em
e
:
Portanto, o volume do recipiente é dado por
metros cúbicos.