Exercício 19: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
A região é limitada por y = x², y = 0, x = 1 e x = 3, e é girada em torno do eixo x = 4. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando giramos ao redor de um eixo vertical e a região é descrita em função de x. A fórmula de volume por cascas é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.
Passo 2
Para cada casca em x, o raio é a distância horizontal até o eixo x = 4, ou seja r(x) = 4 − x, e a altura é a distância vertical entre y = x² e y = 0, ou seja h(x) = x². Assim, dV = 2π·(4 − x)·x²·dx.
Passo 3
O volume total é a integral de dV de x = 1 a x = 3. Portanto,
Passo 4
Agora calculamos a integral:
Passo 5
Multiplicando pelo fator 2π, obtemos o volume final.