Exercício 19: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2, y=0, x=1 até x=3, em torno do eixo x=4.
V=pi integral1^3((4-x^2)^2) d x

Passo 1

A região é limitada por y = x², y = 0, x = 1 e x = 3, e é girada em torno do eixo x = 4. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é indicado quando giramos ao redor de um eixo vertical e a região é descrita em função de x. A fórmula de volume por cascas é dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.

Passo 2

Para cada casca em x, o raio é a distância horizontal até o eixo x = 4, ou seja r(x) = 4 − x, e a altura é a distância vertical entre y = x² e y = 0, ou seja h(x) = x². Assim, dV = 2π·(4 − x)·x²·dx.

Passo 3

O volume total é a integral de dV de x = 1 a x = 3. Portanto,
V = 2pi integral1^3 (4 - x),x^2,dx = 2pi integral1^3 (4x^2 - x^3),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral1^3 (4x^2 - x^3),dx = l(tfrac43x^3 - tfrac14x^4r)|1^3 = l(tfrac43cdot27 - tfrac14cdot81r) - l(tfrac43cdot1 - tfrac14cdot1r) = tfrac443

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2π, obtemos o volume final.

Resposta

V = tfrac88pi3

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