Em um projeto de engenharia para fabricação de tubos condutores de líquidos, o tubo possui um perfil circular externo de raio R=8 cm e um perfil circular interno de raio r=4 cm. O tubo é gerado por rotação da região entre essas duas circunferências em torno de um eixo. Calcule o volume do material utilizado para fabricar esse tubo, considerando um comprimento do tubo de 20 cm .
V=pi integral0^20(8^2-4^2) d x

Passo 1

O enunciado pede o volume do material de um tubo cilíndrico oco com raio externo R=8 cm, raio interno r=4 cm e comprimento L=20 cm. Aqui vamos usar o conteúdo de cálculo de volume por integração de áreas de secção transversal.

Passo 2

Para calcular o volume via método dos discos (ou anéis), lembramos que a área de cada seção transversal é a diferença entre a área do círculo externo e do círculo interno. Assim, a área da seção é A=pil(R^2 - r^2r), e o volume elementar é dV = A,dx.

Passo 3

Montamos a integral do volume ao longo do eixo x de 0 a 20 cm:
V = pi integral0^20 l(8^2 - 4^2r) ,dx
Calculando dentro da integral, 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48.
Fazendo a integração:
V = pi integral0^20 48 ,dx = 48pi l[xr]0^20 = 48pi cdot 20 = 960pi
Em valor aproximado, V approx 960 times 3,1416 approx 3015,93 cm³.

Resposta

V = 960pi cm³ (aprox. 3015,93 cm³)

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