Em um projeto de engenharia para fabricação de tubos condutores de líquidos, o tubo possui um perfil circular externo de raio
e um perfil circular interno de raio
. O tubo é gerado por rotação da região entre essas duas circunferências em torno de um eixo. Calcule o volume do material utilizado para fabricar esse tubo, considerando um comprimento do tubo de 20 cm .
Passo 1
O enunciado pede o volume do material de um tubo cilíndrico oco com raio externo R=8 cm, raio interno r=4 cm e comprimento L=20 cm. Aqui vamos usar o conteúdo de cálculo de volume por integração de áreas de secção transversal.
Passo 2
Para calcular o volume via método dos discos (ou anéis), lembramos que a área de cada seção transversal é a diferença entre a área do círculo externo e do círculo interno. Assim, a área da seção é
, e o volume elementar é
.
Passo 3
Montamos a integral do volume ao longo do eixo x de 0 a 20 cm:
Calculando dentro da integral,
.
Fazendo a integração:
Fazendo a integração:
Em valor aproximado,
cm³.