O resultado da integral indefinida integral e^3 x sen(x) d x é:
& O-e^3 x sen(x)10-3 e^3 x cos (x)10+k & O-e^3 x cos (x)10+3 e^3 x sen(x)10+k-e^3 x sen(x)10+3 e^2 x cos (x)10+k & circ +e^3 x cos (x)10+3 e^3 x cos (x)10+3 e^2 x sen(x)10+k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral e^3xsin(x),dx. O conteúdo principal é a integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Definimos I = integral e^3xsin(x),dx. Escolhemos u = sin(x) e dv = e^3xdx. Então du = cos(x)dx e v = dfrace^3x3. Aplicando partes:
I = e^3xsin(x)3 - 13integral e^3xcos(x),dx

Passo 3

Chamamos J = integral e^3xcos(x),dx e aplicamos partes novamente: escolhemos u = cos(x), dv = e^3xdx. Logo du = -sin(x)dx e v = dfrace^3x3. Assim:
J = e^3xcos(x)3 + 13integral e^3xsin(x),dx = e^3xcos(x)3 + I3

Passo 4

Substituímos J na expressão de I:
I = e^3xsin(x)3 - 13l(e^3xcos(x)3 + I3r) = e^3xsin(x)3 - e^3xcos(x)9 - I9
Multiplicando por 9:
9I = 3e^3xsin(x) - e^3xcos(x) - I Longrightarrow 10I = 3e^3xsin(x) - e^3xcos(x)

Passo 5

Isolando I vem
I = 3e^3xsin(x) - e^3xcos(x)10 + k

Resposta

integral e^3xsin(x),dx = 3e^3xsin(x) - e^3xcos(x)10 + k

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