Um engenheiro está projetando um reservatório de água em forma de tronco de cone, com altura de 10 metros. O raio superior do cone é 5 metros e o raio inferior é 3 metros. O reservatório será girado ao redor do eixo
. Calcule o volume do reservatório.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tronco de cone de altura 10 m, raio inferior 3 m e raio superior 5 m, obtido por rotação em torno do eixo x. Entramos em cálculo de volume por discos (método dos sólidos de revolução) e vamos precisar expressar o raio como função linear de x e usar V = π ∫[r(x)]² dx.
Passo 2
Como o raio varia linearmente de 3 m em x=0 até 5 m em x=10, temos uma função afim. A variação de raio é 5−3=2 em 10 m, logo o coeficiente angular é 2/10=0.2. Assim
r(x)=0.2x+3.
r(x)=0.2x+3.
Passo 3
O volume por rotação é dado por
Passo 4
Expandindo o quadrado temos (0.2x+3)² = 0.04x² + 1.2x + 9. Então
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Passo 6
Portanto
Passo 7
Avaliando em x=10:
Passo 8
Multiplicando π, obtemos o volume final.