Um engenheiro está projetando um reservatório de água em forma de tronco de cone, com altura de 10 metros. O raio superior do cone é 5 metros e o raio inferior é 3 metros. O reservatório será girado ao redor do eixo x. Calcule o volume do reservatório.
V=pi integral0^10(5-310 x+3)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de cone de altura 10 m, raio inferior 3 m e raio superior 5 m, obtido por rotação em torno do eixo x. Entramos em cálculo de volume por discos (método dos sólidos de revolução) e vamos precisar expressar o raio como função linear de x e usar V = π ∫[r(x)]² dx.

Passo 2

Como o raio varia linearmente de 3 m em x=0 até 5 m em x=10, temos uma função afim. A variação de raio é 5−3=2 em 10 m, logo o coeficiente angular é 2/10=0.2. Assim
r(x)=0.2x+3.

Passo 3

O volume por rotação é dado por
V=pi integral0^10l(r(x)r)^2,dx=pi integral0^10(0.2x+3)^2,dx

Passo 4

Expandindo o quadrado temos (0.2x+3)² = 0.04x² + 1.2x + 9. Então
V=pi integral0^10(0.04x^2+1.2x+9),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral0.04x^2dx=0.04 cdot x^33, integral1.2x,dx=1.2 cdot x^22, integral9,dx=9x

Passo 6

Portanto
V=pi l(0.04x^33+1.2x^22+9xr)|0^10

Passo 7

Avaliando em x=10:
0.0410^33=403, 1.210^22=60, 9cdot10=90, totalizando
403+60+90=40+180+2703=4903

Passo 8

Multiplicando π, obtemos o volume final.

Resposta

V=4903,pi m^3

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