Exercício 17: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pela curva y=x^2, y=0, x=0 até x=1, em torno do eixo x=2.
V=pi integral0^1((2-x^2)^2) d x

Passo 1

A gente tem a região limitada por y = x^2, y = 0, x = 0 e x = 1, que gira em torno do eixo vertical x = 2. Como estamos lidando com volume de sólidos de revolução pelo método dos discos em relação a x, usamos a fórmula geral
V = pi integrala^b [R(x)]^2 ,dx
onde o raio do disco é a distância horizontal do eixo até a curva. Aqui assumimos o raio dado na expressão do enunciado, isto é, R(x) = 2 - x^2.

Passo 2

Expandimos o integrando:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4

Passo 3

Substituímos na integral e usamos a linearidade:
V = pi integral0^1 (4 - 4x^2 + x^4) ,dx = pi l(integral0^14,dx - 4integral0^1x^2,dx + integral0^1x^4,dxr)

Passo 4

Calculamos as integrais separadas:
integral0^14,dx = 4, integral0^1x^2,dx = tfrac13, integral0^1x^4,dx = tfrac15

Passo 5

Somando os resultados dentro dos parênteses:
4 - 4cdottfrac13 + tfrac15 = 4 - tfrac43 + tfrac15 = tfrac60 - 20 + 315 = tfrac4315

Resposta

43pi15

Exercícios relacionados