Em um projeto de uma máquina para transporte de água, um parafuso de Arquimedes é utilizado. A seção transversal do parafuso é dada por um triângulo de base 4 cm e altura 6 cm . O parafuso gira em torno de um eixo e forma um sólido helicoidal. Calcule o volume do sólido formado por essa rotação, com altura total de 50 cm .
V=integral0^50 pi(46 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado descreve um parafuso cuja seção triangular (base 4 cm, altura 6 cm) gira em torno de um eixo ao longo de 50 cm, formando um sólido helicoidal. O conteúdo é aplicação de integral para volume de revolução, e vamos precisar expressar o raio em função da altura e usar a fórmula de Cavalieri (volume = ∫πr(x)² dx).

Passo 2

Para montar a função raio, note que a proporção entre a base do triângulo (4 cm) e sua altura (6 cm) vale:
r(x)=46,x onde x varia de 0 a 50 cm.

Passo 3

Substituímos r(x) na fórmula do volume de revolução em torno do eixo:
V=integral0^50pil(r(x)r)^2dx=integral0^50pil(46xr)^2dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
Primeiro fatoramos constantes:
V=pil(46r)^2integral0^50x^2dx=picdot1636cdotl[x^33r]0^50
Calculando
1636cdot50^33=1636cdot1250003=2000000108=50000027
Portanto o volume do sólido é
V=50000027,pi cm^3

Resposta

V=500000pi27 cm^3

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