Em um projeto de uma máquina para transporte de água, um parafuso de Arquimedes é utilizado. A seção transversal do parafuso é dada por um triângulo de base 4 cm e altura 6 cm . O parafuso gira em torno de um eixo e forma um sólido helicoidal. Calcule o volume do sólido formado por essa rotação, com altura total de 50 cm .
Passo 1
O enunciado descreve um parafuso cuja seção triangular (base 4 cm, altura 6 cm) gira em torno de um eixo ao longo de 50 cm, formando um sólido helicoidal. O conteúdo é aplicação de integral para volume de revolução, e vamos precisar expressar o raio em função da altura e usar a fórmula de Cavalieri (volume = ∫πr(x)² dx).
Passo 2
Para montar a função raio, note que a proporção entre a base do triângulo (4 cm) e sua altura (6 cm) vale:
Passo 3
Substituímos r(x) na fórmula do volume de revolução em torno do eixo:
Passo 4
Agora basta calcular a integral:
Primeiro fatoramos constantes:
Primeiro fatoramos constantes:
Calculando
Portanto o volume do sólido é