(2 Pontos) Sabendo que a equação de Navier-Stokes pode ser expressa por:
\rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v\right]=-\nabla P+\mu \nabla^{2} v+\rho g
Determine:
(A) as considerações para qual a equação 1 seja válida;
(B) a equação 1 em coordenadas esféricas;
(C) o significado de cada termo da equação de Navier Stokes (1).
(D) cite Pelo menos Três equações oriundas da equação (1) e apresente as considerações necessárias para cada uma.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Navier–Stokes em forma vetorial
\rho\Bigl[\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v\Bigr] = -\nabla P + \mu\nabla^2\mathbf v + \rho\,\mathbf g
e pede:
(A) as hipóteses para que ela valha;
(B) escrevê-la em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi);
(C) explicar o significado de cada termo;
(D) citar pelo menos três equações derivadas dela, com as hipóteses usadas.
Passo 2
Para que a equação acima seja válida, assumimos que o fluido é:
Continuidade (hipótese de meio contínuo): as propriedades variam de modo suave e não aparecem descontinuidades microscópicas;
Newtoniano e isotrópico: a tensão viscosa é proporcional ao gradiente de velocidade, com viscosidade \mu constante (ou função de T mas independente da taxa de deformação);
Inércia não relativística: velocidades bem abaixo de c;
Fluido de fase única e sem cargas elétricas: não há efeitos eletromagnéticos nem interfaces sólidas móveis (superfícies livres podem ser incluídas, desde que tratadas em condições de contorno);
Referencial inercial: sem efeitos fictícios de rotação do referencial (ou, se houver, incluem‐se forças de Coriolis e centrífugas).
Passo 3
Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com vetores unitários \mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi e velocidades componentes v_r,v_\theta,v_\varphi, a equação de momento se escreve componente a componente. Por exemplo, a componente radial é
As componentes \theta e \varphi ficam análogas, com seus próprios termos convectivos, de gradiente de pressão e de Laplaciano vetorial em esférico. Por exemplo, a componente polar \theta é