(2 Pontos) Sabendo que a equação de Navier-Stokes pode ser expressa por:
\rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v\right]=-\nabla P+\mu \nabla^{2} v+\rho g
Determine:
(A) as considerações para qual a equação 1 seja válida;
(B) a equação 1 em coordenadas esféricas;
(C) o significado de cada termo da equação de Navier Stokes (1).
(D) cite Pelo menos Três equações oriundas da equação (1) e apresente as considerações necessárias para cada uma.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Navier–Stokes em forma vetorial
\rho\Bigl[\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v\Bigr] = -\nabla P + \mu\nabla^2\mathbf v + \rho\,\mathbf g
e pede:
(A) as hipóteses para que ela valha;
(B) escrevê-la em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi);
(C) explicar o significado de cada termo;
(D) citar pelo menos três equações derivadas dela, com as hipóteses usadas.

Passo 2

Para que a equação acima seja válida, assumimos que o fluido é:
  1. Continuidade (hipótese de meio contínuo): as propriedades variam de modo suave e não aparecem descontinuidades microscópicas;
  2. Newtoniano e isotrópico: a tensão viscosa é proporcional ao gradiente de velocidade, com viscosidade \mu constante (ou função de T mas independente da taxa de deformação);
  3. Inércia não relativística: velocidades bem abaixo de c;
  4. Fluido de fase única e sem cargas elétricas: não há efeitos eletromagnéticos nem interfaces sólidas móveis (superfícies livres podem ser incluídas, desde que tratadas em condições de contorno);
  5. Referencial inercial: sem efeitos fictícios de rotação do referencial (ou, se houver, incluem‐se forças de Coriolis e centrífugas).

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com vetores unitários \mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi e velocidades componentes v_r,v_\theta,v_\varphi, a equação de momento se escreve componente a componente. Por exemplo, a componente radial é
\rho\Bigl[\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} + \frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\varphi} - \frac{v_\theta^2+v_\varphi^2}{r}\Bigr] = -\frac{\partial P}{\partial r} + \mu\Bigl[\nabla^2 v_r - \frac{2v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial (v_\theta\sin\theta)}{\partial\theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}\Bigr] + \rho\,g_r.
As componentes \theta e \varphi ficam análogas, com seus próprios termos convectivos, de gradiente de pressão e de Laplaciano vetorial em esférico. Por exemplo, a componente polar \theta é
\rho\Bigl[\frac{\partial v_\theta}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + \frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial\varphi} + \frac{v_r v_\theta}{r} - \frac{v_\varphi^2\cot\theta}{r}\Bigr] = -\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial\theta} + \mu\Bigl[\nabla^2 v_\theta + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} - \frac{v_\theta}{r^2\sin^2\theta} - \frac{2\cot\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}\Bigr] + \rho\,g_\theta.

Passo 4

Cada termo da forma vetorial
\rho\Bigl[\underbrace{\frac{\partial \mathbf v}{\partial t}}_{\text{inércia local}} + \underbrace{\mathbf v\cdot\nabla \mathbf v}_{\text{inércia convectiva}}\Bigr] \;=\; \underbrace{-\nabla P}_{\substack{\text{força de} \\\ \text{gradiente de pressão}}} \;+\; \underbrace{\mu\nabla^2\mathbf v}_{\substack{\text{força} \\\ \text{viscosa}}} \;+\; \underbrace{\rho\,\mathbf g}_{\substack{\text{força de} \\\ \text{corpo (gravidade)}}}ééçãçç
significa:
  • \rho\,\partial\mathbf v/\partial t: variação temporal da quantidade de movimento;
  • \rho\,(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v: transporte convectivo de momento;
  • -\nabla P: aceleração devida a diferenças de pressão;
  • \mu\nabla^2\mathbf v: difusão viscosa do momento (resistência interna do fluido);
  • \rho\,\mathbf g: qualquer força externa volumétrica (geralmente gravidade).

Passo 5

Três equações clássicas obtidas de (1) sob hipóteses adicionais:
  1. Euler (escoamento inviscid)
\rho\Bigl[\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v\Bigr] = -\nabla P + \rho\,\mathbf g,
com \mu=0. Válida para fluidos de Reynolds muito grande ou regiões fora de camadas limite.
  1. Stokes ou escoamento criogênico (Re \to 0, fluxo de baixa inércia)
0 = -\nabla P + \mu\nabla^2\mathbf v + \rho\,\mathbf g,
obtida ao desprezar completamente \rho(\partial_t\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla\mathbf v). Válida para micro-fluidos e fluxo em óleos pesados.
  1. Poiseuille (escoamento laminar fully-developed em tubo cilíndrico)
    partir de Stokes em regime estacionário, axisimétrico e unidimensional:
0 = -\frac{dP}{dz} + \mu\Bigl(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!r\frac{dv_z}{dr}\Bigr),
com \partial/\partial t=0,\;v_r=v_\theta=0,\;\partial/\partial z=0 nas demais variáveis.

Resposta

(A) Continuidade (meio contínuo), fluido Newtoniano e isotrópico, viscosidade constante, referencial inercial, sem efeitos eletromagnéticos nem interfaces móveis.
(B) Em esféricas, escrevemos cada componente r,\theta,\varphi incluindo os termos convectivos específicos e o Laplaciano vetorial em esférico (ver Passo 3).
(C) \rho\partial_t\mathbf v: inércia local; \rho(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v: inércia convectiva; -\nabla P: força-pressão; \mu\nabla^2\mathbf v: difusão viscosa; \rho\mathbf g: força de corpo.
(D) (i) Euler: \mu=0. (ii) Stokes (Re \to 0): inércia desprezada. (iii) Poiseuille em tubo: unidimensional, estacionário, axisimétrico e fully-developed.

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