Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema (
bactéria (preza),
protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
b. Use as variáveis escalonadas,
e
,
para encontrar as equações da modelagem escalonada:
b. Use as variáveis escalonadas,
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é modelar um reator que tem bactérias (presa,
) e protozoários (predador,
) por meio das equações de Lotka–Volterra:
O que o exercício pede é usar as variáveis escalonadas
e achar um sistema equivalente na forma
Esse assunto cai em modelagem de ODEs e escalonamento de variáveis – basicamente, a gente escolhe
pra simplificar as constantes.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro:
Diferenciando em relação a
:
Substitui
e
:
Passo 3
Para ficar no formato
, a gente quer
Logo basta escolher
e definir
. Pronto:
Passo 4
Agora
, então
e
Substituindo
e
:
Passo 5
Queremos a forma
Então igualamos os coeficientes de
:
Resposta
Variáveis de escala:
parâmetros dimensionless:
e mantemos
. O sistema final é