Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
b. Use as variáveis escalonadas, y1 e y2,
y1=x1x1 s y2=x2x2 s
para encontrar as equações da modelagem escalonada:
d y1d t=alpha cdot(1-y2) cdot y1
d y2d t=-beta cdot(1-y1) cdot y2

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é modelar um reator que tem bactérias (presa, dx1dt=a,x1-gamma,x1,x2, dx2dt=varepsilon,gamma,x1,x2-beta,x2 ) e protozoários (predador, y1=x1x1s, y2=x2x2s ) por meio das equações de Lotka–Volterra:
dy1dt=alpha,(1-y2),y1, dy2dt=-beta,(1-y1),y2
O que o exercício pede é usar as variáveis escalonadas
e achar um sistema equivalente na forma
Esse assunto cai em modelagem de ODEs e escalonamento de variáveis – basicamente, a gente escolhe pra simplificar as constantes.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro:
y1=x1x1s ;Longrightarrow; x1 = x1s,y1
Diferenciando em relação a dy1dt =1x1s;dx1dt =1x1sl(a,x1 - gamma,x1,x2r) :
dy1dt =1x1sl(a,x1sy1 - gamma,(x1sy1),(x2sy2)r) = a,y1 - gamma,x2s,y1,y2
Substitui e :

Passo 3

Para ficar no formato a,y1 - gamma,x2s,y1,y2 = a,l(1 - y2r),y1 , a gente quer
gamma,x2s=a Longrightarrow x2s=agamma,
Logo basta escolher
dy1dt =alpha,(1-y2),y1
e definir . Pronto:

Passo 4

Agora dy2dt =1x2s;dx2dt =1x2sl(varepsilongamma,x1,x2 - beta,x2r) , então dy2dt =1x2sl(varepsilongamma,(x1sy1),(x2sy2)-beta,(x2sy2)r) =varepsilongamma,x1s,y1,y2-beta,y2 e
Substituindo e :

Passo 5

Queremos a forma
-beta,(1-y1),y2 =beta,(y1-1),y2 =varepsilongamma,x1s,y1,y2-beta,y2
Então igualamos os coeficientes de varepsilongamma,x1s=beta Longrightarrow x1s=betavarepsilongamma :

Resposta

Variáveis de escala:
x1s=betavarepsilongamma, x2s=agamma,
parâmetros dimensionless:
boxed dy1dt =alpha,(1-y2),y1, dy2dt =-beta,(1-y1),y2 e mantemos . O sistema final é

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