Considere uma formulação mais geral do problema 14. Neste caso, tem-se:
onde os parâmetros
podem ser ou positivos ou negativos. A escolha dos sinais especifica os estilos do romance. Para cada um dos seguintes casos (parâmetros a e b são positivos), determine o comportamento do plano de fases. Interprete o significado dos resultados em termos do comportamento romântico.
b.
onde os parâmetros
b.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos o sistema linear
com
Passo 2
- Monta a matriz do sistema:
2) Calcula traço e determinante:
- Escreve a equação característica
4) Resolve e acha os autovalores:
$$\lambda = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 -4(a^2 - b^2)}}{2}
= -a \pm b.$$
Logo
- ,
-
Logo
-
-
Dependendo de
versus
:
- Se
, então também. Os dois eigenvalues são negativos e reais ⇒ nó próprio estável (trajectórias vão espiralando ou direto pra origem). - Se
, então e ⇒ eigenvalues de sinais opostos ⇒ ponto de sela. - Se
, dá caso degenerado com , .
Passo 3
Agora, falando de romance:
em cada linha significa “cada um tende a esfriar” sozinho;
na outra variavel indica “você fica mais apaixonado se o outro demonstra amor”.
- Quando
, o esfriamento próprio é mais forte que o impulso mútuo – no final os dois esfriam e a relação morre num nó estável. - Quando
, o incentivo mútuo é tão forte que leva a uma dinâmica instável: algumas combinações de sentimento explodem de paixão (direção do autovetor associado a ), enquanto outras levam à indiferença (direção oposta), igual uma montanha-russa emocional (ponto de sela).
Resposta
O sistema tem matriz
com autovalores
.
- Se
: dois , é nó próprio estável ⇒ sentimentos decaem suavemente até zero. - Se
: um e um , é ponto de sela ⇒ há direções de explosão e de colapso emocional. - Caso crítico
: degenerado (uma direção neutra).