Considere uma formulação mais geral do problema 14. Neste caso, tem-se:
d x1d t=a11 cdot x1+a12 cdot x2
d x2d t=a21 cdot x1+a22 cdot x2
onde os parâmetros aij podem ser ou positivos ou negativos. A escolha dos sinais especifica os estilos do romance. Para cada um dos seguintes casos (parâmetros a e b são positivos), determine o comportamento do plano de fases. Interprete o significado dos resultados em termos do comportamento romântico.
b. d x1d t=-a cdot x1+b cdot x2
d x2d t=b cdot x1-a cdot x2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o sistema linear
dx1dt = -a,x1 + b,x2, dx2dt = b,x1 - a,x2
com a>0 e b>0. Isso é um exercício de teoria de sistemas lineares autônomos em R^2: precisamos achar a matriz, calcular traço, determinante e autovalores para classificar o ponto de equilíbrio (origem). Depois a gente interpreta o resultado no “romance”.

Passo 2

  1. Monta a matriz do sistema:
A=-a & b b & -a
2) Calcula traço e determinante:
trA = -a + (-a) = -2a<0, det A = (-a)(-a) - b^2 = a^2 - b^2
  1. Escreve a equação característica
lambda^2 - (trA),lambda + det A = 0;Longrightarrow;lambda^2 +2a,lambda + (a^2 - b^2)=0
4) Resolve e acha os autovalores:
$$\lambda = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 -4(a^2 - b^2)}}{2}
= -a \pm b.$$
Logo
- lambda = -2a pm raiz(2a)^2 -4(a^2 - b^2)2 = -a pm b,
- lambda1 = -a + b
Dependendo de lambda2 = -a - b (<0 sempre) versus b:
  • Se a, então b também. Os dois eigenvalues são negativos e reais ⇒ nó próprio estável (trajectórias vão espiralando ou direto pra origem).
  • Se lambda1=-a+b<0, então b>a e lambda1=-a+b>0 ⇒ eigenvalues de sinais opostos ⇒ ponto de sela.
  • Se lambda2<0, dá caso degenerado com b=a, lambda1=0.

Passo 3

Agora, falando de romance: -a em cada linha significa “cada um tende a esfriar” sozinho; b na outra varia­vel indica “você fica mais apaixonado se o outro demonstra amor”.
  • Quando b, o esfriamento próprio é mais forte que o impulso mútuo – no final os dois esfriam e a relação morre num nó estável.
  • Quando b>a, o incentivo mútuo é tão forte que leva a uma dinâmica instável: algumas combinações de sentimento explodem de paixão (direção do autovetor associado a lambda1>0), enquanto outras levam à indiferença (direção oposta), igual uma montanha-russa emocional (ponto de sela).

Resposta

O sistema tem matriz A=[[-a,b],[b,-a]] com autovalores lambda=-apm b.
  • Se b: dois lambda<0, é nó próprio estável ⇒ sentimentos decaem suavemente até zero.
  • Se b>a: um lambda>0 e um <0, é ponto de sela ⇒ há direções de explosão e de colapso emocional.
  • Caso crítico b=a: degenerado (uma direção neutra).

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