Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema (
bactéria (preza),
protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
c. Encontre os auto-valores da matriz Jacobiana para as equações escalonadas, avaliadas para
e
. Assuma para os cálculos que
e
são 1.0 por definição. Encontre os auto-valores em termos de
e
.
c. Encontre os auto-valores da matriz Jacobiana para as equações escalonadas, avaliadas para
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente encontrar os autovalores da matriz Jacobiana do sistema predador-presa já “escalonado” (ou seja, com γ = 1 e ε = 1), avaliados no ponto de equilíbrio (y₁s,y₂s) = (1,1). O conteúdo é: linearização de sistemas ODE (Jacobian) e resolução de polinômio característico pra achar os autovalores. A gente vai precisar de derivadas parciais, montar a Jacobiana, avaliar em (1,1) e resolver λ² – Tr·λ + Det = 0.
Passo 2
Primeiro, calculemos a Jacobiana J(x₁,x₂). Nosso sistema escalonado é
As derivadas parciais são
Logo
Passo 3
Agora avalia em (x₁,x₂) = (1,1):
Passo 4
A gente monta o polinômio característico
Isso dá
Note que
Trace = (α-1)+(1-β) = α - β,
Det = (α-1)(1-β)+1 = α + β - αβ.
Trace = (α-1)+(1-β) = α - β,
Det = (α-1)(1-β)+1 = α + β - αβ.
Passo 5
O polinômio final é
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os autovalores no ponto (1,1) são