Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
c. Encontre os auto-valores da matriz Jacobiana para as equações escalonadas, avaliadas para y1 s e y2 s. Assuma para os cálculos que y1 s e y2 s são 1.0 por definição. Encontre os auto-valores em termos de alpha e beta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente encontrar os autovalores da matriz Jacobiana do sistema predador-presa já “escalonado” (ou seja, com γ = 1 e ε = 1), avaliados no ponto de equilíbrio (y₁s,y₂s) = (1,1). O conteúdo é: linearização de sistemas ODE (Jacobian) e resolução de polinômio característico pra achar os autovalores. A gente vai precisar de derivadas parciais, montar a Jacobiana, avaliar em (1,1) e resolver λ² – Tr·λ + Det = 0.

Passo 2

Primeiro, calculemos a Jacobiana J(x₁,x₂). Nosso sistema escalonado é
dot x₁ = α,x₁ - x₁,x₂, dot x₂ = x₁,x₂ - β,x₂
As derivadas parciais são
∂dot x₁∂x₁ = α - x₂, ∂dot x₁∂x₂ = -,x₁,
∂dot x₂∂x₁ = x₂, ∂dot x₂∂x₂ = x₁ - β
Logo
J(x₁,x₂) = α - x₂ & -x₁[6pt] x₂ & x₁ - β

Passo 3

Agora avalia em (x₁,x₂) = (1,1):
J(1,1) = α - 1 & -1[4pt] 1 & 1 - β

Passo 4

A gente monta o polinômio característico
detl(J(1,1) - λIr) =det α-1-λ & -1 1 & 1-β-λ =0
Isso dá
(α-1-λ)(1-β-λ) - (-1)cdot1 = 0
Rightarrow λ^2 ;-;(α-1 + 1-β),λ ;+;(α-1)(1-β)+1 = 0
Note que
Trace = (α-1)+(1-β) = α - β,
Det = (α-1)(1-β)+1 = α + β - αβ.

Passo 5

O polinômio final é
λ^2 - (alpha - beta),λ + (alpha + beta - alpha,beta)=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
λ = (alpha-beta)pmraiz(alpha-beta)^2 ;-;4(alpha+beta-alphabeta)2

Resposta

Os autovalores no ponto (1,1) são
boxed% λ1,2 = alpha-beta pm raiz(alpha-beta)^2 - 4,(alpha+beta-alphabeta)2

Exercícios relacionados