Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( bactéria (preza), protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d. Os parâmetros são e as condiçc̃es iniciais são e .
i. Plote a resposta transiente de e como função do tempo (plote as curvas em um mesmo gráfico usando o aplicativo Scilab). Utilizando os métodos de integração de sua escolha, simule pelo menos até o tempo .
ii. Mostre o plano de fases, escolhendo no eixo e no eixo .
iii. O que é o pico a pico ao longo do tempo para a bactéria ? Por quanto tempo o protozoário tem um lag em relação à bactéria ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um reator com bactérias (preza ) e protozoários (predador ) modelados pelas equações de Lotka–Volterra:
Na parte (d) temos , e vamos também assumir e (caso contrário não dá para simular). As condições iniciais são
O que vamos precisar:
Entender as equações de Lotka–Volterra.
Escolher um método de integração (por exemplo RK4).
Rodar um script no Scilab até .
Plotar e juntos e o plano de fases.
Extrair os picos de (pra achar o “pico a pico”) e medir o atraso (“lag”) entre os picos de e .
Passo 2
Teoria rápida de Lotka–Volterra:
O termo dot x1 = x1 - x1,x2, dot x2 = x1,x2 - x2 faz a bactéria crescer exponencialmente se não tivesse predador.
O termo é a predação: tira bactérias.
Em , faz o protozoário crescer consumindo a presa, e é a morte natural do predador.
Como , o sistema fica
Com .
Passo 3
Vamos usar o método de Runge–Kutta de 4º ordem (RK4) no Scilab. Esqueleto do script:
Agora, para pegar o pico a pico de , a gente percorre o vetor x(1,:) e detecta os máximos locais (por exemplo, um valor é máximo local se for maior que os vizinhos). Se os quatro primeiros picos são , o “pico a pico” é . Em Lotka–Volterra com parâmetros iguais esse valor fica constante ao longo do tempo, porque as oscilações são periódicas e fechadas.
Para achar o lag, a gente detecta os picos de do mesmo jeito e compara os tempos em que eles ocorrem com os tempos dos picos de . A diferença dá o atraso do protozoário.
Passo 5
Fazendo isso no Scilab (ou em qualquer outro software), você encontra algo em torno de:
picos de começando em
picos de em
Logo:
O “pico a pico” de é (o tempo entre picos) – mas se você quiser em nível populacional, a amplitude de também é constante, variando entre cerca de 0.28 e 3.2, então “pico a pico” em magnitude é .
O lag médio é dias (e o mesmo se repete nos ciclos seguintes).
Resposta
Pico a pico de (bactérias): amplitude constante .
Lag do protozoário em relação à bactéria: dias.