Um engenheiro de tráfego deseja estudar se o consumo de combustível de um automóvel está relacionado com o peso do mesmo. Para tal, observou uma amostra com oito automóveis novos que trafegaram por uma rodovia do Estado do Paraná na última semana. O peso (em centenas de kg) e as taxas de consumo de combustível (em km/L) dos automóveis observados são apresentados na tabela abaixo.
Cons
umo
9 11 15 13 13 15 7 12
Peso 22 16 15 19 18 14 24 16
Obtenha o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis apresentadas. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre ver se o consumo de combustível de um carro está relacionado com o peso dele. Para isso, temos os dados de peso e consumo de 8 automóveis. O que vamos usar aqui é o coeficiente de correlação de Pearson, que nos ajuda a entender se existe uma relação entre duas variáveis. Vamos precisar calcular médias, desvios padrão e a covariância entre as duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Consumo (km/L): 9, 11, 15, 13, 13, 15, 7, 12
  • Peso (centenas de kg): 22, 16, 15, 19, 18, 14, 24, 16

Passo 3

Vamos calcular a média de cada conjunto de dados.
Para o consumo:
barX = 9 + 11 + 15 + 13 + 13 + 15 + 7 + 128 = 958 = 11,875
Para o peso:
barY = 22 + 16 + 15 + 19 + 18 + 14 + 24 + 168 = 1448 = 18

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio de cada valor em relação à média, ou seja, Xi - barX e Yi - barY.
Consumo X Xi - barX Peso Y Yi - barY
9 9 - 11,875 = -2,875 22 22 - 18 = 4
11 11 - 11,875 = -0,875 16 16 - 18 = -2
15 15 - 11,875 = 3,125 15 15 - 18 = -3
13 13 - 11,875 = 1,125 19 19 - 18 = 1
13 13 - 11,875 = 1,125 18 18 - 18 = 0
15 15 - 11,875 = 3,125 14 14 - 18 = -4
7 7 - 11,875 = -4,875 24 24 - 18 = 6
12 12 - 11,875 = 0,125 16 16 - 18 = -2

Passo 5

Vamos calcular agora o produto dos desvios para cada par de valores:
(Xi - barX)(Yi - barY)
Produto dos Desvios
(-2,875) × 4 = -11,5
(-0,875) × (-2) = 1,75
3,125 × (-3) = -9,375
1,125 × 1 = 1,125
1,125 × 0 = 0
3,125 × (-4) = -12,5
(-4,875) × 6 = -29,25
0,125 × (-2) = -0,25
Somando todos esses produtos:
-11,5 + 1,75 - 9,375 + 1,125 + 0 - 12,5 - 29,25 - 0,25 = -62

Passo 6

Agora, vamos calcular a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = sum(Xi - barX)(Yi - barY)raizsum(Xi - barX)^2 cdot sum(Yi - barY)^2
Já temos a soma dos produtos dos desvios, que é -62. Agora precisamos calcular a soma dos quadrados dos desvios para X e para Y.

Passo 7

Calculando sum(Xi - barX)^2:
(-2,875)^2 = 8,2656 (-0,875)^2 = 0,7656 3,125^2 = 9,7656 1,125^2 = 1,2656 1,125^2 = 1,2656 3,125^2 = 9,7656 (-4,875)^2 = 23,7656 0,125^2 = 0,0156
Soma total:
8,2656 + 0,7656 + 9,7656 + 1,2656 + 1,2656 + 9,7656 + 23,7656 + 0,0156 = 53,875
Calculando sum(Yi - barY)^2:
4^2 = 16 (-2)^2 = 4 (-3)^2 = 9 1^2 = 1 0^2 = 0 (-4)^2 = 16 6^2 = 36 (-2)^2 = 4
Soma total:
16 + 4 + 9 + 1 + 0 + 16 + 36 + 4 = 86

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do r:
r = -62raiz53,875 times 86 = -62raiz4632,25 = -6268
Calculando o valor:
r approx -0,9118

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson entre o consumo de combustível e o peso dos automóveis é aproximadamente -0,9118.

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