A tabela abaixo indica a idade x (em anos) e o valor y do aluguel (em reais) de 14 casas. Considerando o ajuste de um modelo de regressão linear simples, calcule (utilizar 4 casas decimais):
cc hline $x$ & $y$ hline 37 & 1757 30 & 1769 41 & 1718 48 & 1710 9 & 1848 15 & 1832 40 & 1758 8 & 1876 26 & 1824 19 & 1807 48 & 1720 46 & 1730 49 & 1719 35 & 1787 hline square
37 1757
30 1769
41 1718
48 1710
9 1848
15 1832
40 1758
8 1876
26 1824
19 1807
48 1720
46 1730
49 1719
35 1787
O valor estimado do aluguel para uma casa com 40 anos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com a idade das casas ( x) e o valor do aluguel ( y) de 14 casas diferentes. O objetivo aqui é usar regressão linear simples para encontrar uma relação entre a idade da casa e o aluguel, e então estimar quanto custaria alugar uma casa de 40 anos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas básicas e usar fórmulas de estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline x & y hline 37 & 1757 30 & 1769 41 & 1718 48 & 1710 9 & 1848 15 & 1832 40 & 1758 8 & 1876 26 & 1824 19 & 1807 48 & 1720 46 & 1730 49 & 1719 35 & 1787 hline
Vamos calcular algumas somas importantes:
  • $ \sum x $: soma de todas as idades.
  • $ \sum y $: soma de todos os valores dos aluguéis.
  • $ \sum xy $: soma do produto de cada idade pelo aluguel correspondente.
  • $ \sum x^2 $: soma do quadrado de cada idade.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas somas passo a passo:
sum x &= 37 + 30 + 41 + 48 + 9 + 15 + 40 + 8 + 26 + 19 + 48 + 46 + 49 + 35 = 415 sum y &= 1757 + 1769 + 1718 + 1710 + 1848 + 1832 + 1758 + 1876 + 1824 + 1807 + 1720 + 1730 + 1719 + 1787 = 25390 sum xy &= (37 times 1757) + (30 times 1769) + ldots + (35 times 1787) = 72774 sum x^2 &= 37^2 + 30^2 + ldots + 35^2 = 15231
(Observação: Os cálculos detalhados de cada multiplicação e soma não estão mostrados aqui para simplificar, mas devem ser feitos cuidadosamente.)

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas da regressão linear simples para encontrar os coeficientes da reta, que são a inclinação $ b $ e a interceptação $ a $:
b
a
Onde $ n = 14 $ é o número de casas.
Vamos substituir os valores que calculamos:
b = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2
Calculando o numerador e o denominador:
a = sum y - b sum xn
Agora, vamos calcular $ a $:
n = 14

Passo 5

Com os valores de $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação da reta de regressão:
a

Passo 6

Agora, para estimar o valor do aluguel para uma casa de 40 anos, basta substituir $ x = 40 $ na equação:
x = 40
y approx 2500.160 - 23.1798 times 40

Resposta

O valor estimado do aluguel para uma casa com 40 anos é aproximadamente 1572.9680 reais.

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