Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara = probabilidade de coroa =1 / 2 ) é jogada n vezes. Calcular a probabilidade de obter-se exatamente k caras, 0 <= k <= n.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem uma moeda “justa” (cara e coroa saem cada uma com probabilidade 1/2) sendo lançada n vezes. Queremos saber qual é a probabilidade de aparecer exatamente k caras (e, portanto, n–k coroas), onde 0 ≤ k ≤ n.
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes, contagem de casos via combinatória (coeficiente binomial). Para resolver, vamos precisar entender:
  • Regra do produto para probabilidades de eventos independentes;
  • Como contar quantas sequências de resultados têm exatamente k caras (uso do coeficiente binomial).

Passo 2

Primeiro, repare que cada lançamento é independente e cada resultado (cara ou coroa) tem probabilidade 1/2. Logo, para uma sequência fixa com k caras e n–k coroas, a probabilidade vale
ê
Isso vem da regra do produto em probabilidade: multiplicamos as probabilidades de cada lançamento.

Passo 3

Mas não existe só uma sequência com k caras: elas podem aparecer em qualquer combinação de posições. Para contar quantas sequências diferentes têm exatamente k caras usamos o coeficiente binomial:
binomnk ;=; n!k!,(n-k)!
Isso conta de quantas maneiras podemos escolher k lançamentos (entre os n) para serem caras.

Passo 4

Agora, como essas P(exatamente k caras) = binomnk times l(tfrac12r)^n sequências são mutuamente exclusivas (elas não acontecem ao mesmo tempo), a probabilidade de “ter exatamente k caras” é a soma das probabilidades de cada uma delas. Mas como cada sequência tem probabilidade , temos

Resposta

boxedP(exatamente k caras) ;=; binomnk,l(tfrac12r)^n

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