Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara
probabilidade de coroa
) é jogada
vezes. Calcular a probabilidade de obter-se exatamente
caras,
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem uma moeda “justa” (cara e coroa saem cada uma com probabilidade 1/2) sendo lançada n vezes. Queremos saber qual é a probabilidade de aparecer exatamente k caras (e, portanto, n–k coroas), onde 0 ≤ k ≤ n.
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes, contagem de casos via combinatória (coeficiente binomial). Para resolver, vamos precisar entender:
Conteúdo: probabilidade de eventos independentes, contagem de casos via combinatória (coeficiente binomial). Para resolver, vamos precisar entender:
- Regra do produto para probabilidades de eventos independentes;
- Como contar quantas sequências de resultados têm exatamente k caras (uso do coeficiente binomial).
Passo 2
Primeiro, repare que cada lançamento é independente e cada resultado (cara ou coroa) tem probabilidade 1/2. Logo, para uma sequência fixa com k caras e n–k coroas, a probabilidade vale
Isso vem da regra do produto em probabilidade: multiplicamos as probabilidades de cada lançamento.
Isso vem da regra do produto em probabilidade: multiplicamos as probabilidades de cada lançamento.
Passo 3
Mas não existe só uma sequência com k caras: elas podem aparecer em qualquer combinação de posições. Para contar quantas sequências diferentes têm exatamente k caras usamos o coeficiente binomial:
Isso conta de quantas maneiras podemos escolher k lançamentos (entre os n) para serem caras.
Passo 4
Agora, como essas
sequências são mutuamente exclusivas (elas não acontecem ao mesmo tempo), a probabilidade de “ter exatamente k caras” é a soma das probabilidades de cada uma delas. Mas como cada sequência tem probabilidade
, temos