Um Engenheiro verificou que um fio de metal cilíndrico, magnético e bom condutor, de 50 metros de comprimento e 8 cm de raio, apresenta uma permeabilidade magnética relativa de \mu_{r}=25 e uma impedância intrínseca de \eta=310 e^{i \frac{P_{i}}{4}}. Ele deseja que a resistência à corrente alternada R_{a c} desse fio seja exatamente 15 vezes maior que a sua resistência à corrente contínua R_{c c}. Qual deve ser a frequência de operação da onda EM que propaga nessa linha para que isto aconteça? Dê a resposta em Hertz (Hz).
a. 832,8 \mathrm{MHz}
b. 550,1 \mathrm{MHz}
c. 929,6 \mathrm{MHz}
d. 775,7 \mathrm{M} \mathrm{Hz}
e. 490,5 \mathrm{MHz}
f. 211,6 \mathrm{MHz}
g. 614,7 \mathrm{MHz}
h. 375,3 M H z

Passo 1

O enunciado descreve um fio metálico cilíndrico de raio a=8 cm, comprimento irrelevante para a razão das resistências, com permeabilidade relativa \mu_{r}=25 e impedância intrínseca \eta=310\,e^{i\pi/4}. Queremos a frequência f para que a resistência à corrente alternada R_{ac} seja 15 vezes a resistência à corrente contínua R_{dc}. Usaremos o efeito de pele: profundidade de penetração \delta, relações entre R_{ac}, R_{dc} e \delta, e a definição de \eta para um bom condutor.

Passo 2

A resistência CC por unidade de comprimento é
R_{dc}=\frac{1}{\sigma\pi a^2}
e, para \delta\ll a, a resistência AC por unidade de comprimento vale
R_{ac}=\frac{1}{2\pi a\,\delta\,\sigma}.
Assim
\frac{R_{ac}}{R_{dc}} =\frac{\displaystyle\frac{1}{2\pi a\,\delta\,\sigma}}{\displaystyle\frac{1}{\sigma\pi a^2}} =\frac{a}{2\delta}.

Passo 3

Para \frac{R_{ac}}{R_{dc}}=15 obtém-se
\delta=\frac{a}{2\cdot15} =\frac{0,08}{30} =0,0026667\text{ m}.

Passo 4

A profundidade de penetração satisfaz
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
com \mu=\mu_0\mu_r. Além disso, para bom condutor
|\eta|=\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}}=310.
Quadrando cada expressão resulta em
\omega\mu\sigma=\frac{2}{\delta^2}, \quad \frac{\omega\mu}{\sigma}=310^2.

Passo 5

Multiplicando as duas equações:
(\omega\mu)^2 =\frac{2}{\delta^2}\times 310^2 \;\Longrightarrow\; \omega\mu =310\sqrt{\frac{2}{\delta^2}} =\frac{310\sqrt{2}}{\delta}.
Como
\mu=\mu_0\mu_r =4\pi\times10^{-7}\times25 =3{,}14159\times10^{-5}\text{ H/m},
segue
\omega =\frac{310\sqrt{2}}{\delta\,\mu} \approx\frac{438{,}4}{0,0026667\times3{,}14159\times10^{-5}} \approx5{,}234\times10^{9}\text{ rad/s}.

Passo 6

A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi} \approx\frac{5{,}234\times10^{9}}{2\pi} \approx8{,}328\times10^{8}\text{ Hz} =832{,}8\text{ MHz}.
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 832,8\text{ MHz}

Exercícios relacionados