Uma onda eletromagnética está se propagando em um meio com constante dielétrica \epsilon_{r}=20, permeabilidade magnética relativa \mu_{r}=11 \mathrm{e} condutividade \sigma=0,02 S / m. O campo magnético é dado por H(z, t)=28 e^{-\alpha z} \sin \left(5 \pi \times 10^{5} t-\beta z\right) \hat{x} A / m.
Calcule:
a) a profundidade pelicular da onda no meio em metros;
b) a constante de fase da onda no meio em Rad/m.
Some numericamente os resultados dos itens a) e b) para dar a resposta final.

Escolha uma opção:

a. 2,32
b. 3,05
c. 2,63
d. 2,84
e. 2,01
f. 1,78
g. 3,74
h. 1,23

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética se propagando em um meio com \epsilon_{r}=20, \mu_{r}=11 e \sigma=0,02\\ \mathrm{S/m}. O campo magnético tem a forma \displaystyle H(z,t)=28\,e^{-\alpha z}\sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\hat{x},
onde \alpha é a constante de atenuação e \beta é a constante de fase.
Precisamos calcular
a) a profundidade de penetração (ou “skin depth”) \delta=1/\alpha em metros;
b) a constante de fase \beta em rad/m;
e então somar numericamente \delta+\beta.
Em um meio condutor o valor complexo da constante de propagação é
\gamma = \alpha + j\beta = j\,\omega\sqrt{\mu\,\epsilon}\,\sqrt{1+j\frac{\sigma}{\omega\,\epsilon}}.
Disto seguem as fórmulas
\alpha = \frac{\omega\sqrt{\mu\epsilon}}{\sqrt{2}} \sqrt{\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\epsilon}\Bigr)^{2}} - 1},
\beta = \frac{\omega\sqrt{\mu\epsilon}}{\sqrt{2}} \sqrt{\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\epsilon}\Bigr)^{2}} + 1}.

Passo 2

Calculemos os parâmetros do meio e da onda: \displaystyle \omega=5\pi\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}. \displaystyle \mu=\mu_{r}\mu_{0}=11\times4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} \approx1{,}3823\times10^{-5}\\ \mathrm{H/m}. \displaystyle \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0} =20\times8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx1{,}7708\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Razão adimensional
R=\frac{\sigma}{\omega\,\epsilon} =\frac{0,02}{(5\pi\times10^{5})(1{,}7708\times10^{-10})} \approx71{,}9.

Passo 3

Definamos o fator comum
C=\frac{\omega\sqrt{\mu\,\epsilon}}{\sqrt{2}} \approx0{,}0550\\ \mathrm{(1/m)}.
Então
\alpha = C\, \sqrt{\sqrt{1+R^{2}} - 1} =0{,}0550\, \sqrt{\sqrt{1+(71{,}9)^{2}} - 1} \approx0{,}463\\ \mathrm{Np/m}.
Dessa forma a profundidade de penetração é
\delta = \frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{0{,}463}\approx2{,}16\\ \mathrm{m}.

Passo 4

De modo análogo, a constante de fase é
\beta = C\, \sqrt{\sqrt{1+R^{2}} + 1} =0{,}0550\, \sqrt{\sqrt{1+(71{,}9)^{2}} + 1} \approx0{,}47\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Somando numericamente
\delta + \beta \approx2{,}16 + 0{,}47 = 2{,}63.

Resposta

c. 2,63

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