Quatro ondas são produzidas na mesma corda e no mesmo sentido:
\begin{aligned} & y_{1}(x, t)=(4,00 \mathrm{~mm}) \cos (2 \pi x-400 \pi t+1,5 \pi) \\\ & y_{2}(x, t)=(4,0 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(2 \pi x-400 \pi t+0,7 \pi) \\\ & y_{3}(x, t)=(4,0 \mathrm{~mm}) \cos (2 \pi x-400 \pi t+2,5 \pi) \\\ & y_{4}(x, t)=(4,0 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(2 \pi x-400 \pi t+1,5 \pi) \end{aligned}
Qual é a amplitude da onda resultante?

Passo 1

O enunciado dá quatro ondas na mesma corda, mesma direção e frequência, de forma que podemos escrever cada uma como
y_k(x,t)=A\cos\bigl(\varphi(x,t)+\psi_k\bigr)
com \varphi(x,t)=2\pi x-400\pi t, amplitude comum A=4{,}0 mm e fases \psi_k diferentes. Queremos a amplitude A_{\rm res} da soma
y(x,t)=\sum_{k=1}^4y_k(x,t)
usando o princípio da superposição e soma de fasores (adição vetorial de fases).

Passo 2

Convertendo as funções seno em cosseno para ter todas no formato A\cos(\varphi+\psi):
  • y_1=A\cos(\varphi+1{,}5\pi) \psi_1=1{,}5\pi.
  • y_2=A\operatorname{sen}(\varphi+0{,}7\pi)=A\cos\bigl(\varphi+0{,}7\pi-0{,}5\pi\bigr)=A\cos(\varphi+0{,}2\pi), logo \psi_2=0{,}2\pi.
  • y_3=A\cos(\varphi+2{,}5\pi) \psi_3=2{,}5\pi, que é equivalente a 2{,}5\pi-2\pi=0{,}5\pi.
  • y_4=A\operatorname{sen}(\varphi+1{,}5\pi)=A\cos\bigl(\varphi+1{,}5\pi-0{,}5\pi\bigr)=A\cos(\varphi+1{,}0\pi), logo \psi_4=1{,}0\pi.
Assim os quatro ângulos de fase, reduzidos a [0,2\pi), são \psi_1=1{,}5\pi,\\ \psi_2=0{,}2\pi,\\ \psi_3=0{,}5\pi,\\ \psi_4=1{,}0\pi.

Passo 3

Em representação fasorial, cada onda corresponde ao vetor A\,e^{i\psi_k}. A soma de fasores é
S=\sum_{k=1}^4e^{i\psi_k}
e a amplitude resultante vale
A_{\rm res}=A\bigl|S\bigr|.

Passo 4

Calculemos os termos de S:
e^{i\psi_1}=e^{i1{,}5\pi}=-\,i, \quad e^{i\psi_2}=e^{i0{,}2\pi}=\cos(0{,}2\pi)+i\sin(0{,}2\pi)\approx0{,}8090+i\,0{,}5878,
e^{i\psi_3}=e^{i0{,}5\pi}=i, \quad e^{i\psi_4}=e^{i1{,}0\pi}=-1.
Somando as partes reais e imaginárias:
\Re S=0{,}8090+0-1=-0{,}1910, \quad \Im S=-1+0{,}5878+1+0=0{,}5878.

Passo 5

O módulo de S é
\bigl|S\bigr|=\sqrt{(-0{,}1910)^2+(0{,}5878)^2} \approx\sqrt{0{,}0365+0{,}3455} =\sqrt{0{,}3820}\approx0{,}6180.
Logo a amplitude resultante é
A_{\rm res}=A\bigl|S\bigr|=4{,}0\\ \text{mm}\times0{,}6180\approx2{,}47\\ \text{mm}.

Resposta

A amplitude da onda resultante é aproximadamente 2{,}47 mm.

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