Engenheiros de Alimentos verificaram peso de sacas de milho de um supermercado, o qual é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso das referidas sacas. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida, cujos valores em quilos são:
\begin{array}{lllllllllll} 98 & 97 & 102 & 100 & 98 & 101 & 102 & 105 & 95 & 102 & 100 \end{array}
Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 90 \%.
\chi_{0,950 ; 10}^{2}=3,94 \chi_{0,050 ; 10}^{2}=18,31 \quad \chi_{0,950 ; 11}^{2}=4,58 \quad \chi_{0,050 ; 11}^{2}=19,68

Passo 1

O que o problema pede: construir um intervalo de confiança para a variância do peso das sacas com nível de confiança de 90\%.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
\text{Amostra (kg): }98,\;97,\;102,\;100,\;98,\;101,\;102,\;105,\;95,\;102,\;100
n=11,\qquad \text{grau de confiança }1-\alpha=0{,}90\;(\Rightarrow \alpha=0{,}10)ç
Os valores de qui‑quadrado fornecidos no enunciado (vou usá‑los explicitamente):
\chi^{2}_{0{,}950;\,10}=3{,}94,\qquad \chi^{2}_{0{,}050;\,10}=18{,}31.
(Observação: estou usando esses valores tal como aparecem no enunciado.)

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Primeiro somamos os valores da amostra:
\sum_{i=1}^{11} x_i = 98+97+102+100+98+101+102+105+95+102+100 = 1100.
Como n=11,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{1100}{11}=100.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^{2}. Usamos a fórmula
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Calculo dos quadrados das diferenças (com \bar{x}=100):
\begin{array}{lcl} 98: & (98-100)^{2}=(-2)^{2}=4,\\\\ 97: & 9,\\\\ 102: & 4,\\\\ 100: & 0,\\\\ 98: & 4,\\\\ 101: & 1,\\\\ 102: & 4,\\\\ 105: & 25,\\\\ 95: & 25,\\\\ 102: & 4,\\\\ 100: & 0. \end{array}
Somando:
\sum_{i=1}^{11}(x_i-\bar{x})^{2}=4+9+4+0+4+1+4+25+25+4+0=80.
Portanto
s^{2}=\frac{80}{11-1}=\frac{80}{10}=8\quad(\text{kg}^{2}).

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a variância. Se X_1,\dots,X_n são normais com variância \sigma^{2}, então
\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{n-1}.
Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2} é dado por
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2;\,n-1}} \le \sigma^{2} \le \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2;\,n-1}},
onde \chi^{2}_{p;\,\nu} é o quantil tal que \Pr(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p;\,\nu})=p.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso concreto. Aqui n-1=10 e \alpha/2=0{,}05. Precisamos dos quantis \chi^{2}_{1-\alpha/2;\,10}=\chi^{2}_{0{,}95;\,10} e \chi^{2}_{\alpha/2;\,10}=\chi^{2}_{0{,}05;\,10}.
Usando os valores fornecidos no enunciado (interpretando-os na convenção padrão de quantis):
\chi^{2}_{0{,}95;\,10}=18{,}31,\qquad \chi^{2}_{0{,}05;\,10}=3{,}94.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo. Temos (n-1)s^{2}=10\cdot 8=80.
Limite inferior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}95;\,10}}=\frac{80}{18{,}31}\approx 4{,}37.
Limite superior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}05;\,10}}=\frac{80}{3{,}94}\approx 20{,}30.
Assim, com 90\% de confiança, a variação verdadeira \sigma^{2} está entre esses valores (em \text{kg}^{2}).

Resposta

\displaystyle \sigma^{2}\in(4{,}37;\;20{,}30)\\ \text{kg}^{2}

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