Engenheiros civis mediram a resistência à compressão ( MPa ) de 10 cilindros de concreto produzidos com a mesma mistura. Os resultados (MPa) foram:
Supondo que a resistência siga distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 95% para a variância da resistência. Depois, apresente também o intervalo para o desvio-padrão.
Passo 1
O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de
para a variância da resistência e, em seguida, o intervalo correspondente para o desvio-padrão. Dados fornecidos (em MPa):
Tamanho da amostra:
. Foram fornecidos os quantis da distribuição qui-quadrado para
graus de liberdade:
A seguir vou calcular a média amostral, a variância amostral e então aplicar a fórmula do intervalo de confiança para
e para
.
Passo 2
Calcular a média amostral
. Soma dos valores:
Logo a média é
Passo 3
Calcular a variância amostral
(estimador insesgado, divisor
). Fórmula:
Vou calcular a soma dos quadrados das diferenças. Os quadrados das diferenças (cada termo em MPa
) são:
Somando todos:
Portanto
E o desvio-padrão amostral é
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança
para a variância
quando a população é normal:
Aqui
é o tamanho da amostra,
é a variância amostral, e
é o quantil
da distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Para
temos
,
. Portanto usaremos
e
(valores fornecidos).
Passo 5
Calcular os extremos do intervalo para a variância. Primeiro compute
:
Usando a fórmula:
Logo o intervalo de confiança de
para a variância
é aproximadamente
Passo 6
Transformar o intervalo da variância em intervalo para o desvio-padrão
tomando raízes quadradas dos extremos. Assim:
Portanto o intervalo de
para o desvio-padrão é aproximadamente