Engenheiros civis mediram a resistência à compressão ( MPa ) de 10 cilindros de concreto produzidos com a mesma mistura. Os resultados (MPa) foram:
\begin{array}{llllllllll} 32,1 & 31,8 & 33,0 & 32,5 & 31,9 & 32,7 & 33,2 & 32,3 & 31,7 & 32,6 . \end{array}
Supondo que a resistência siga distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 95% para a variância da resistência. Depois, apresente também o intervalo para o desvio-padrão.
\chi_{0,950 ; 10}^{2}=3,94 \quad \chi_{0,050 ; 10}^{2}=18,31 \quad \chi_{0,975 ; 9}^{2}=2,70 \quad \chi_{0,025 ; 9}^{2}=19,02

Passo 1

O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para a variância da resistência e, em seguida, o intervalo correspondente para o desvio-padrão. Dados fornecidos (em MPa):
\begin{array}{llllllllll} 32,1 & 31,8 & 33,0 & 32,5 & 31,9 & 32,7 & 33,2 & 32,3 & 31,7 & 32,6 \end{array}
Tamanho da amostra: n=10. Foram fornecidos os quantis da distribuição qui-quadrado para n-1=9 graus de liberdade:
\chi^{2}_{0,975;9}=2,70\quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0,025;9}=19,02.
A seguir vou calcular a média amostral, a variância amostral e então aplicar a fórmula do intervalo de confiança para \sigma^{2} e para \sigma.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 323,8.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{323,8}{10}=32,38.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^{2} (estimador insesgado, divisor n-1). Fórmula:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Vou calcular a soma dos quadrados das diferenças. Os quadrados das diferenças (cada termo em MPa ^2) são:
\begin{array}{l} (32,1-32,38)^{2}=0,0784,\\\ (31,8-32,38)^{2}=0,3364,\\\ (33,0-32,38)^{2}=0,3844,\\\ (32,5-32,38)^{2}=0,0144,\\\ (31,9-32,38)^{2}=0,2304,\\\ (32,7-32,38)^{2}=0,1024,\\\ (33,2-32,38)^{2}=0,6724,\\\ (32,3-32,38)^{2}=0,0064,\\\ (31,7-32,38)^{2}=0,4624,\\\ (32,6-32,38)^{2}=0,0484. \end{array}
Somando todos:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=2,336.
Portanto
s^{2}=\frac{2,336}{9}=0,259555\approx0,2596\quad\text{(MPa)}^{2}.
E o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0,259555}\approx0,5095\quad\text{MPa}.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança 100(1-\alpha)\% para a variância \sigma^{2} quando a população é normal:
\mathbb{P}\!\left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2;n-1}}\le\sigma^{2}\le\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2;n-1}}\right)=1-\alpha.
Aqui n é o tamanho da amostra, s^{2} é a variância amostral, e \chi^{2}_{p;\,\nu} é o quantil p da distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade. Para 95\% temos \alpha=0,05, \alpha/2=0,025. Portanto usaremos \chi^{2}_{0,025;9}=19,02 e \chi^{2}_{0,975;9}=2,70 (valores fornecidos).

Passo 5

Calcular os extremos do intervalo para a variância. Primeiro compute (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=9\cdot0,259555=2,336.
Usando a fórmula:
\text{limite inferior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0,025;9}}=\frac{2,336}{19,02}=0,122789\approx0,123,
\text{limite superior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0,975;9}}=\frac{2,336}{2,70}=0,865185\approx0,865.
Logo o intervalo de confiança de 95\% para a variância \sigma^{2} é aproximadamente
\left[0,123;\;0,865\right]\quad\text{(MPa)}^{2}.

Passo 6

Transformar o intervalo da variância em intervalo para o desvio-padrão \sigma tomando raízes quadradas dos extremos. Assim:
\sqrt{0,122789}\approx0,3504\approx0,350\quad\text{MPa},
\sqrt{0,865185}\approx0,9303\approx0,930\quad\text{MPa}.
Portanto o intervalo de 95\% para o desvio-padrão é aproximadamente
\left[0,350;\;0,930\right]\quad\text{MPa}.

Resposta

\sigma^{2} em 95\%: [0,123;\;0,865] (MPa) ^2
\sigma em 95\%: [0,350;\;0,930] MPa

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