Seja o resultado de 10 medições de energia de impacto (J) em barras de aço: 64,1 ; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2; 64,3. Encontre um intervalo de confiança com nível de confiança de 95% e 99%.
t_{0,01 ; 9}=2,821 \quad t_{0,10 ; 9}=1,383 \quad t_{0,025 ; 9}=2,262 \quad t_{0,05 ; 9}=1,833

Passo 1

O enunciado dá os resultados de 10 medições de energia de impacto (em joules): 64{,}1, 64{,}7, 64{,}5, 64{,}6, 64{,}5, 64{,}3, 64{,}6, 64{,}8, 64{,}2, 64{,}3.
Pede-se para encontrar intervalos de confiança para a média verdadeira com nível de confiança de 95\% e 99\%.
Além disso, o enunciado fornece alguns valores da distribuição t para 9 graus de liberdade: t_{0,01;9}=2{,}821, t_{0,10;9}=1{,}383, t_{0,025;9}=2{,}262, t_{0,05;9}=1{,}833.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são as observações. Aqui n=10. Primeiro somamos os valores:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 64{,}1+64{,}7+64{,}5+64{,}6+64{,}5+64{,}3+64{,}6+64{,}8+64{,}2+64{,}3 = 644{,}6.
Logo,
\bar{x}=\frac{644{,}6}{10}=64{,}46\\ (\text{J}).
Isso significa que a média das medições é \bar{x}=64{,}46 J.

Passo 3

Agora precisamos da variabilidade das observações — a estimativa da variância amostral e do desvio-padrão amostral. A fórmula da variância amostral (com correção de Bessel) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2,
e o desvio-padrão amostral é s=\sqrt{s^2}. Vou calcular os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados (mostro cada um para você poder conferir):
\begin{aligned} 64{,}1-\bar{x} &= -0{,}36, &(-0{,}36)^2 &= 0{,}1296,\\\\ 64{,}7-\bar{x} &= 0{,}24, &(0{,}24)^2 &= 0{,}0576,\\\\ 64{,}5-\bar{x} &= 0{,}04, &(0{,}04)^2 &= 0{,}0016,\\\\ 64{,}6-\bar{x} &= 0{,}14, &(0{,}14)^2 &= 0{,}0196,\\\\ 64{,}5-\bar{x} &= 0{,}04, &(0{,}04)^2 &= 0{,}0016,\\\\ 64{,}3-\bar{x} &= -0{,}16, &(-0{,}16)^2 &= 0{,}0256,\\\\ 64{,}6-\bar{x} &= 0{,}14, &(0{,}14)^2 &= 0{,}0196,\\\\ 64{,}8-\bar{x} &= 0{,}34, &(0{,}34)^2 &= 0{,}1156,\\\\ 64{,}2-\bar{x} &= -0{,}26, &(-0{,}26)^2 &= 0{,}0676,\\\\ 64{,}3-\bar{x} &= -0{,}16, &(-0{,}16)^2 &= 0{,}0256. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 = 0{,}1296+0{,}0576+0{,}0016+0{,}0196+0{,}0016+0{,}0256+0{,}0196+0{,}1156+0{,}0676+0{,}0256 = 0{,}4640.
Como n-1=9,
s^2=\frac{0{,}4640}{9}=0{,}051555\ldots
e portanto
s=\sqrt{0{,}051555\ldots}\approx 0{,}227\\ (\text{J}).
Interpretação prática: as medições variam em torno de \pm 0{,}227 J (desvio-padrão amostral).

Passo 4

Para construir um intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional é desconhecido usamos o intervalo baseado na distribuição t:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2; \, n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{\alpha/2; \, n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, s é o desvio-padrão amostral e \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra. O termo
\text{erro padrão da média} = \frac{s}{\sqrt{n}}ãé
me diz quanto, em média, a média amostral \bar{x} varia em torno da verdadeira média. Vamos calcular esse erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}227}{\sqrt{10}}=\frac{0{,}227}{3{,}1623\ldots}\approx 0{,}07178\\ (\text{J}).

Passo 5

Intervalo de confiança de 95\%: aqui o nível de significância é \alpha=0{,}05, então usamos t_{\alpha/2;9}=t_{0{,}025;9}. O enunciado nos deu t_{0{,}025;9}=2{,}262. O erro máximo tolerado (margem de erro) é
E_{95\%}=t_{0{,}025;9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2{,}262\cdot0{,}07178\approx 0{,}1624\\ (\text{J}).
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
\bar{x}\pm E_{95\%}=64{,}46\pm 0{,}1624,
ou seja,
\bigl(64{,}46-0{,}1624,\;64{,}46+0{,}1624\bigr)=\bigl(64{,}2976,\;64{,}6224\bigr).
Arredondando de forma conveniente (duas casas decimais), obtemos \bigl(64{,}30,\;64{,}62\bigr) J.

Passo 6

Intervalo de confiança de 99\%: aqui \alpha=0{,}01, então precisamos de t_{\alpha/2;9}=t_{0{,}005;9}. Esse valor vem da tabela t para 9 graus de liberdade; ele é aproximadamente t_{0{,}005;9}\approx 3{,}250. (O enunciado não deu esse valor, por isso usei a tabela padrão.) A margem de erro é
E_{99\%}=t_{0{,}005;9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=3{,}250\cdot0{,}07178\approx 0{,}2333\\ (\text{J}).
Logo o intervalo de confiança de 99\% é
64{,}46\pm 0{,}2333
ou seja
\bigl(64{,}46-0{,}2333,\;64{,}46+0{,}2333\bigr)=\bigl(64{,}2267,\;64{,}6933\bigr).
Arredondando a duas casas decimais: \bigl(64{,}23,\;64{,}69\bigr) J.

Resposta

Intervalo de confiança 95\%: \bigl(64{,}30,\;64{,}62\bigr)\\ \text{J}
Intervalo de confiança 99\%: \bigl(64{,}23,\;64{,}69\bigr)\\ \text{J}

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