Seja o resultado de 10 medições de energia de impacto (J) em barras de aço: 64,1 ; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2; 64,3. Encontre um intervalo de confiança com nível de confiança de 95% e 99%.
Passo 1
O enunciado dá os resultados de
medições de energia de impacto (em joules):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Pede-se para encontrar intervalos de confiança para a média verdadeira com nível de confiança de e
.
Além disso, o enunciado fornece alguns valores da distribuição para
graus de liberdade:
,
,
,
.
Pede-se para encontrar intervalos de confiança para a média verdadeira com nível de confiança de
Além disso, o enunciado fornece alguns valores da distribuição
Passo 2
Vamos calcular a média amostral
. A fórmula da média amostral é
onde
é o número de observações e
são as observações. Aqui
. Primeiro somamos os valores:
Logo,
Isso significa que a média das medições é
J.
Passo 3
Agora precisamos da variabilidade das observações — a estimativa da variância amostral e do desvio-padrão amostral. A fórmula da variância amostral (com correção de Bessel) é
e o desvio-padrão amostral é
. Vou calcular os desvios
e seus quadrados (mostro cada um para você poder conferir):
Somando os quadrados:
Como
,
e portanto
Interpretação prática: as medições variam em torno de
J (desvio-padrão amostral).
Passo 4
Para construir um intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional é desconhecido usamos o intervalo baseado na distribuição
:
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade,
é o desvio-padrão amostral e
é a raiz do tamanho da amostra. O termo
me diz quanto, em média, a média amostral
varia em torno da verdadeira média. Vamos calcular esse erro padrão:
Passo 5
Intervalo de confiança de
: aqui o nível de significância é
, então usamos
. O enunciado nos deu
. O erro máximo tolerado (margem de erro) é
Portanto o intervalo de confiança de
é
ou seja,
Arredondando de forma conveniente (duas casas decimais), obtemos
J.
Passo 6
Intervalo de confiança de
: aqui
, então precisamos de
. Esse valor vem da tabela
para
graus de liberdade; ele é aproximadamente
. (O enunciado não deu esse valor, por isso usei a tabela padrão.) A margem de erro é
Logo o intervalo de confiança de
é
ou seja
Arredondando a duas casas decimais:
J.
Resposta
Intervalo de confiança
:
Intervalo de confiança :
Intervalo de confiança