Um relatório de uma companhia afirma que 40 \% de toda a água obtida, através de poços artesianos no Nordeste, é salobra. Há muitas controvérsias sobre essa afirmação e para esclarecer essa dúvida, 400 poços foram sorteados aleatoriamente e observou-se, em 120 deles, água salobra. Utilizando um nível de significância de 5 \%, qual seria sua conclusão.

Passo 1

O enunciado apresenta as seguintes informações e pergunta o que devemos concluir:
  • Afirmação da companhia: 40\% de toda a água obtida por poços artesianos no Nordeste é salobra.
  • Amostra: foram sorteados aleatoriamente n=400 poços.
  • Observação: em 120 desses poços a água foi classificada como salobra.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
Pergunta do enunciado: usando \alpha=5\%, qual conclusão podemos tirar sobre a afirmação da companhia?

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa. Como o enunciado diz uma porcentagem específica ( 40\%) sem indicar direção (menor ou maior), seguimos o procedimento padrão e testamos se a proporção é diferente de 40\% (teste bilateral):
H_0: p = 0,4
H_1: p \neq 0,4
Aqui p é a proporção verdadeira de poços com água salobra na população. Expliquei a escolha do teste bilateral porque o enunciado afirma um valor exato ( 40\%) e não sugere que a proporção seja especificamente menor ou maior; portanto queremos verificar se há evidência de diferença em qualquer direção.

Passo 3

Calcule a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\frac{\text{número de poços salobros}}{n}=\frac{120}{400}=0,3.úç
Então a amostra mostra \hat{p}=0,3 (ou seja, 30\% dos poços na amostra são salobros).

Passo 4

Verifique se podemos usar a aproximação normal (teste-z para proporção). A regra prática exige que n p_0 e n(1-p_0) sejam suficientemente grandes (normalmente \ge 5 ou \ge 10):
n p_0 = 400\cdot 0,4 = 160,
n(1-p_0) = 400\cdot 0,6 = 240.
Ambos são muito maiores que 5, portanto a aproximação normal é adequada e podemos usar o teste-z para proporções.

Passo 5

Apresente a estatística de teste e explique cada termo. A estatística z é
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra,
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0,4),
  • n é o tamanho da amostra,
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0.
Calcule o erro padrão:
\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,4\cdot 0,6}{400}}=\sqrt{\dfrac{0,24}{400}}=\sqrt{0,0006}\approx 0,0245.
Calcule z:
z=\frac{0,3-0,4}{0,0245}=\frac{-0,1}{0,0245}\approx -4,0825.

Passo 6

Decisão usando o nível de significância \alpha=0,05 e teste bilateral.
  • Valores críticos para o teste-z bilateral: z_{\alpha/2}=\pm 1,96.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se z<-1,96 ou z>1,96.
Aqui z\approx -4,0825, que é menor que -1,96. Portanto rejeitamos H_0.
Calcule também o valor-p para interpretar a evidência. O valor-p (bilateral) é
\text{p-valor}=2\cdot P(Z\le z)\approx 2\cdot P(Z\le -4,0825).
A cauda para z=-4,0825 é muito pequena; numericamente
P(Z\le -4,0825)\approx 2,27\times 10^{-5},
logo
\text{p-valor}\approx 4,54\times 10^{-5}\approx 4,5\times 10^{-5},
que é muito menor que \alpha=0,05. Isso confirma a rejeição de H_0.

Passo 7

Interpretação no contexto: rejeitar H_0 significa que os dados fornecem evidência estatisticamente significativa (ao nível de 5\%) de que a proporção real de poços com água salobra difere de 40\%. Como a proporção amostral foi \hat{p}=0,3 (menor que 0,4), a evidência aponta que a proporção verdadeira provavelmente é menor que 40\%. Em palavras mais amigáveis: com essa amostra de 400 poços, há evidência forte de que a afirmação da companhia ( 40\%) não é correta — na amostra observamos apenas 30\% salobra, e essa diferença é estatisticamente significativa.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência estatística ao nível de 5\% de que a proporção de água salobra difere de 40\%; a amostra sugere que é menor (amostra: \hat{p}=0,3).

Exercícios relacionados