Um relatório de uma companhia afirma que
de toda a água obtida, através de poços artesianos no Nordeste, é salobra. Há muitas controvérsias sobre essa afirmação e para esclarecer essa dúvida, 400 poços foram sorteados aleatoriamente e observou-se, em 120 deles, água salobra. Utilizando um nível de significância de
, qual seria sua conclusão.
Passo 1
O enunciado apresenta as seguintes informações e pergunta o que devemos concluir:
- Afirmação da companhia:
de toda a água obtida por poços artesianos no Nordeste é salobra. - Amostra: foram sorteados aleatoriamente
poços. - Observação: em
desses poços a água foi classificada como salobra. - Nível de significância:
.
Pergunta do enunciado: usando
, qual conclusão podemos tirar sobre a afirmação da companhia?
Passo 2
Formulamos as hipóteses nula e alternativa. Como o enunciado diz uma porcentagem específica (
) sem indicar direção (menor ou maior), seguimos o procedimento padrão e testamos se a proporção é diferente de
(teste bilateral):
Aqui
é a proporção verdadeira de poços com água salobra na população. Expliquei a escolha do teste bilateral porque o enunciado afirma um valor exato (
) e não sugere que a proporção seja especificamente menor ou maior; portanto queremos verificar se há evidência de diferença em qualquer direção.
Passo 3
Calcule a proporção amostral
:
Então a amostra mostra
(ou seja,
dos poços na amostra são salobros).
Passo 4
Verifique se podemos usar a aproximação normal (teste-z para proporção). A regra prática exige que
e
sejam suficientemente grandes (normalmente
ou
):
Ambos são muito maiores que
, portanto a aproximação normal é adequada e podemos usar o teste-z para proporções.
Passo 5
Apresente a estatística de teste e explique cada termo. A estatística z é
onde:
-
é a proporção observada na amostra, -
é a proporção sob (aqui ), -
é o tamanho da amostra, - o denominador
é o erro padrão da proporção sob .
Calcule o erro padrão:
Calcule
:
Passo 6
Decisão usando o nível de significância
e teste bilateral.
- Valores críticos para o teste-z bilateral:
. - Regra de decisão: rejeitar
se ou .
Aqui
, que é menor que
. Portanto rejeitamos
.
Calcule também o valor-p para interpretar a evidência. O valor-p (bilateral) é
A cauda para
é muito pequena; numericamente
logo
que é muito menor que
. Isso confirma a rejeição de
.
Passo 7
Interpretação no contexto: rejeitar
significa que os dados fornecem evidência estatisticamente significativa (ao nível de
) de que a proporção real de poços com água salobra difere de
. Como a proporção amostral foi
(menor que
), a evidência aponta que a proporção verdadeira provavelmente é menor que
. Em palavras mais amigáveis: com essa amostra de
poços, há evidência forte de que a afirmação da companhia (
) não é correta — na amostra observamos apenas
salobra, e essa diferença é estatisticamente significativa.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência estatística ao nível de
de que a proporção de água salobra difere de
; a amostra sugere que é menor (amostra:
).