Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por f(t)=700 e^{-15 t} milhares de metros cúbicos, onde t \geq 0 é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço, supondo que o gás seja inesgotável.

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Passo 1

O enunciado dá a taxa de produção de gás natural
f(t) = 700\,e^{-15t}
em milhares de metros cúbicos por unidade de tempo, para t\ge0. Pergunta a quantidade total extraível supondo produção indefinida. O conteúdo é cálculo de integral imprópria de função exponencial, e vamos precisar:
  1. Escrever a quantidade total Q como
Q = \int_{0}^{\infty} f(t)\,\mathrm{d}t.
  1. Calcular essa integral usando a antiderivada de e^{-15t}.

Passo 2

Escrevemos a quantidade total de gás extraído, em milhares de metros cúbicos, como a integral imprópria
Q = \int_{0}^{\infty}700\,e^{-15t}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Encontramos a antiderivada de 700\,e^{-15t}. Como
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(e^{-15t}\bigr)=-15\,e^{-15t},
temos
\int700\,e^{-15t}\,\mathrm{d}t =700\int e^{-15t}\,\mathrm{d}t =700\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{15}e^{-15t}\Bigr) =-\frac{700}{15}\,e^{-15t}+C.

Passo 4

Agora avaliamos o limite impróprio:
Q =\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{700}{15}\,e^{-15t}\right]_{t=0}^{t=b} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{700}{15}e^{-15b} + \tfrac{700}{15}e^{0}\Bigr).
Como e^{-15b}\to0 quando b\to\infty, resta
Q=\frac{700}{15}\cdot1=\frac{700}{15}.

Resposta

A quantidade total de gás extraível é
\frac{700}{15}\approx46{,}67
milhares de metros cúbicos.

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