\int \operatorname{sen} \theta \cos ^{3} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin\theta\;\cos^{3}\theta\,d\theta
O conteúdo é “integrais de funções trigonométricas” e vamos usar a técnica de substituição, aproveitando a derivada de \cos\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos\theta
então
du = -\sin\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\,d\theta = -\,du

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \sin\theta\,\cos^{3}\theta\,d\theta
temos
\int \sin\theta\;\cos^{3}\theta\,d\theta =\int u^{3}\,(\sin\theta\,d\theta) =\int u^{3}\,(-du) =-\int u^{3}\,du

Passo 4

Agora integramos em u usando a regra \int u^{n}du = u^{n+1}/(n+1):
-\int u^{3}\,du =-\frac{u^{4}}{4}+C

Passo 5

Voltando para \theta com u=\cos\theta:
-\frac{u^{4}}{4}+C =-\frac{\cos^{4}\theta}{4}+C

Resposta

-\frac{\cos^{4}\theta}{4}+C

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