Resolva as EDOs abaixo.
\left(x^{2} y^{3}-\frac{1}{1+9 x^{2}}\right) \frac{d x}{d y}+x^{3} y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
\biggl(x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}}\biggr)\frac{dx}{dy}+x^{3}y^{2}=0.
Este é um problema de equação diferencial em forma diferencial exata. Vamos identificá-la como
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
testar exatidão, encontrar uma função potencial \psi(x,y) e obter a solução implícita.

Passo 2

Reescrevendo, temos
M(x,y)=x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}},\quad N(x,y)=x^{3}y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}y^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que \psi_x=M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\biggl(x^{2}y^{3}-\frac{1}{1+9x^{2}}\biggr)\,dx =\int x^{2}y^{3}\,dx-\int\frac{dx}{1+9x^{2}} =\frac{x^{3}y^{3}}{3}-\frac{1}{3}\arctan(3x)+h(y).

Passo 4

Agora exigimos \psi_y=N. Calculando
\psi_y =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{3}y^{3}}{3}-\frac{1}{3}\arctan(3x)+h(y)\Bigr) =x^{3}y^{2}+h'(y)
e igualando a N=x^{3}y^{2} obtém-se h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

A solução geral implícita é
x^{3}y^{3}-\arctan(3x)=C,
onde C é constante de integração.

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