O enunciado pede para calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência de várias séries de potências centradas em zero (ou em 3, no item g). Vamos usar principalmente o Teste da Razão e o Teste da Raiz e depois checar o comportamento nos pontos-limite.
Passo 2
Para uma série de potências vale o Teste da Razão: se existir
então
R = 1L
O Teste da Raiz diz que
L' = limsupntoinfty |an|^1/n,
e
R = 1L'
Depois de achar R, avaliamos convergência em x=cpm R.
Passo 3
Para a série (a) temos an = (-1)^n/(n+1). Pelo Teste da Razão,
gl|an+1angr| = 1/(n+2)1/(n+1) = n+1n+2 to 1,
logo R=1. Em |x|<1 converge absolutamente. Em x=1 vira sum(-1)^n/(n+1), que converge (série alternada). Em x=-1 temos sum1/(n+1), que diverge. Intervalo: (-1,1].
Passo 4
Na série (b), an = (-1)^n/n^2. Novamente a razão tende a 1, então R=1. Para x=pm1 a série fica sum1/n^2, que converge (p-série com p=2>1). Intervalo: [-1,1].
então R=5. Em x=pm5 sobra 1/n^5, série convergente. Intervalo: [-5,5].
Passo 7
Na (e) an = (-1)^n/(2n+1)! e o termo geral é x^2n+1. Pelo Teste da Raiz,
|an x^2n+1|^1/nto 0 (forall x),
então R=infty e a série converge para todo xinR.
Passo 8
Em (f) an =l((3n+2)/(5n+7)r)^n. Pelo Teste da Raiz,
|an x^n|^1/n = |x|3n+25n+7 to 35|x|,
logo R=5/3. Nos extremos x=pm5/3 os termos não vão a zero, então diverge. Intervalo: (-5/3,5/3).
Passo 9
Na (g) mudamos o centro para c=3 e an = (-1)^n/(2n+1). A razão tende a 1, dando R=1. Em x=4 (x-3=1) é alternada e converge; em x=2 (x-3=-1) dá sum1/(2n+1), que diverge. Intervalo: (2,4].
Passo 10
Por fim, em (h) an = (-1)^n/[1cdot3cdot5cdots(2n-1)]. Pelo Teste da Raiz e aproximação de Stirling, o limite é zero para qualquer x, logo R=infty e a série converge em todo R.