Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
(a) sumn=0^infty(-1)^n x^nn+1
(b) sumn=1^infty(-1)^n x^nn^2
© sumn=1^infty n^n x^n
(d) sumn=1^infty x^n5^n n^5
(e) sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
(f) sumn=1^infty(3 n+25 n+7)^n x^n
(g) sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^n2 n+1
(h) sumn=0^infty(-1)^n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência de várias séries de potências centradas em zero (ou em 3, no item g). Vamos usar principalmente o Teste da Razão e o Teste da Raiz e depois checar o comportamento nos pontos-limite.

Passo 2

Para uma série de potências sum an (x-c)^n vale o Teste da Razão: se existir
L = limntoinfty gl|an+1angr|,
então
R = 1L
O Teste da Raiz diz que
L' = limsupntoinfty |an|^1/n,
e
R = 1L'
Depois de achar R, avaliamos convergência em x=cpm R.

Passo 3

Para a série (a) temos an = (-1)^n/(n+1). Pelo Teste da Razão,
gl|an+1angr| = 1/(n+2)1/(n+1) = n+1n+2 to 1,
logo R=1. Em |x|<1 converge absolutamente. Em x=1 vira sum(-1)^n/(n+1), que converge (série alternada). Em x=-1 temos sum1/(n+1), que diverge. Intervalo: (-1,1].

Passo 4

Na série (b), an = (-1)^n/n^2. Novamente a razão tende a 1, então R=1. Para x=pm1 a série fica sum1/n^2, que converge (p-série com p=2>1). Intervalo: [-1,1].

Passo 5

Na © an = n^n. Pelo Teste da Raiz,
|an x^n|^1/n = n|x| to infty (se xneq0),
ilimitando R=0. Só converge em x=0.

Passo 6

Para (d) an = 1/(5^n n^5). Pelo Teste da Raiz,
|an x^n|^1/n = |x|5,n^-5/n to |x|5,
então R=5. Em x=pm5 sobra 1/n^5, série convergente. Intervalo: [-5,5].

Passo 7

Na (e) an = (-1)^n/(2n+1)! e o termo geral é x^2n+1. Pelo Teste da Raiz,
|an x^2n+1|^1/nto 0 (forall x),
então R=infty e a série converge para todo xinR.

Passo 8

Em (f) an =l((3n+2)/(5n+7)r)^n. Pelo Teste da Raiz,
|an x^n|^1/n = |x|3n+25n+7 to 35|x|,
logo R=5/3. Nos extremos x=pm5/3 os termos não vão a zero, então diverge. Intervalo: (-5/3,5/3).

Passo 9

Na (g) mudamos o centro para c=3 e an = (-1)^n/(2n+1). A razão tende a 1, dando R=1. Em x=4 ( x-3=1) é alternada e converge; em x=2 ( x-3=-1) dá sum1/(2n+1), que diverge. Intervalo: (2,4].

Passo 10

Por fim, em (h) an = (-1)^n/[1cdot3cdot5cdots(2n-1)]. Pelo Teste da Raiz e aproximação de Stirling, o limite é zero para qualquer x, logo R=infty e a série converge em todo R.

Resposta

(a) R=1, intervalo de convergência (-1,1]. (b) R=1, intervalo [-1,1]. © R=0, intervalo {0}. (d) R=5, intervalo [-5,5]. (e) R=\infty, intervalo R. (f) R=5/3, intervalo (-5/3,5/3). (g) R=1, intervalo (2,4]. (h) R=\infty, intervalo R.

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